设 m ∈ N + , 若 a ∈ Z , ( a , m ) = 1 , 则 在 模 m 的 意 义 下 存 在 唯 一 的 整 数 a − 1 。 设m\in N^{+},若a\in Z,(a,m)=1,则在模m的意义下存在唯一的整数a^{-1}。 设m∈N+,若a∈Z,(a,m)=1,则在模m的意义下存在唯一的整数a−1。
存 在 性 ： ( a , m ) = 1 → a x + m y = 1 , ∃ x , y ∈ Z → a x ≡ 1 ( m o d m ) , 即 a − 1 就 是 这 里 的 x ， 是 存 在 的 存在性：(a,m)=1\rightarrow ax+my=1,{\exists}x,y\in Z\rightarrow ax\equiv 1(mod m),即a^{-1}就是这里的x，是存在的 存在性：(a,m)=1→ax+my=1,∃x,y∈Z→ax≡1(modm),即a−1就是这里的x，是存在的 唯 一 性 ： 反 证 法 ， 假 设 ∃ x 1 , x 2 ∈ Z , x 1 ≠ x 2 , 使 得 a x 1 ≡ x 1 a ≡ 1 ( m o d m ) , a x 2 ≡ x 2 a ≡ 1 ( m o d m ) , 那 么 x 1 ≡ x 1 ( a x 2 ) ≡ ( x 1 a ) x 2 ≡ x 2 ( m o d m ) 唯一性：反证法，假设{\exists}x_1,x_2\in Z,x_1\neq x_2,使得\\ ax_1\equiv x_1a\equiv 1(mod m),\\ ax_2\equiv x_2a\equiv 1(mod m),\\ 那么x_1\equiv x_1(ax_2)\equiv (x_1a)x_2\equiv x_2(mod m) 唯一性：反证法，假设∃x1,x2∈Z,x1=x2,使得ax1≡x1a≡1(modm),ax2≡x2a≡1(modm),那么x1≡x1(ax2)≡(x1a)x2≡x2(modm)若 p 为 素 数 ， 则 ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) 若p为素数，则(p-1)!\equiv -1(mod p) 若p为素数，则(p−1)!≡−1(modp) 分 情 况 考 虑 ， 从 p = 2 开 始 ： 分情况考虑，从p=2开始： 分情况考虑，从p=2开始：
p = 2 , 则 ( p − 1 ) ! = 1 ! = 1 ≡ − 1 ( m o d 2 ) p=2,则(p-1)!=1!=1\equiv -1(mod 2) p=2,则(p−1)!=1!=1≡−1(mod2) p ≥ 3 , 对 于 整 数 a , 1 ≤ a ≤ p − 1 , 有 ( a , p ) = 1 , 存 在 唯 一 整 数 a − 1 使 得 a a − 1 ≡ a − 1 a ≡ 1 ( m o d p ) 现 在 考 虑 在 1 p\ge3,对于整数a,1\le a\le p-1,有(a,p)=1,存在唯一整数a^{-1}使得aa^{-1}\equiv a^{-1}a\equiv 1(mod p)\\ 现在考虑在1 p≥3,对于整数a,1≤a≤p−1,有(a,p)=1,存在唯一整数a−1使得aa−1≡a−1a≡1(modp)现在考虑在1 ~ p − 1 之 间 有 几 对 互 为 逆 元 , 有 哪 些 数 的 逆 元 是 其 本 身 , 即 a ≡ a − 1 ( m o d p ) , a ≡ a − 1 ( m o d p ) a 2 ≡ 1 ( m o d p ) a 2 − 1 ≡ 0 ( m o d p ) ( a + 1 ) ( a − 1 ) ≡ 0 ( m o d p ) a ≡ − 1 ( m o d p ) 或 a ≡ + 1 ( m o d p ) a = p − 1 , 或 a = 1 所 以 我 们 得 到 只 有 p − 1 和 1 的 逆 元 是 其 本 身 ， 其 余 的 数 皆 可 写 成 逆 元 对 形 式 ， 即 ( p − 1 ) ! ≡ ( p − 1 ) ⋅ 1 ≡ p − 1 ≡ − 1 ( m o d p ) p-1之间有几对互为逆元,有哪些数的逆元是其本身,即a\equiv a^{-1}(mod p),\\ a\equiv a^{-1}(mod p)\\ a^{2}\equiv 1(mod p)\\ a^{2}-1\equiv 0(mod p)\\ (a+1)(a-1)\equiv 0(mod p)\\ a\equiv -1(mod p)或a\equiv +1(mod p)\\ a=p-1,或a=1\\ 所以我们得到只有p-1和1的逆元是其本身，其余的数皆可写成逆元对形式，即\\ (p-1)!\equiv (p-1)·1\equiv p-1\equiv -1(mod p) p−1之间有几对互为逆元,有哪些数的逆元是其本身,即a≡a−1(modp),a≡a−1(modp)a2≡1(modp)a2−1≡0(modp)(a+1)(a−1)≡0(modp)a≡−1(modp)或a≡+1(modp)a=p−1,或a=1所以我们得到只有p−1和1的逆元是其本身，其余的数皆可写成逆元对形式，即(p−1)!≡(p−1)⋅1≡p−1≡−1(modp)综 上 ， ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) 综上，(p-1)!\equiv -1(mod p) 综上，(p−1)!≡−1(modp)
