位运算

1. 原码、反码和补码

二进制有三种不同的表示形式：原码、反码和补码，计算机内部使用补码来表示。

原码：就是其二进制表示（注意，最高位是符号位）。

00 00 00 11 -> 3 10 00 00 11 -> -3

反码：正数的反码就是原码，负数的反码是符号位不变，其余位取反（对应正数按位取反）。

00 00 00 11 -> 3 11 11 11 00 -> -3

补码：正数的补码就是原码，负数的补码是反码+1。

00 00 00 11 -> 3 11 11 11 01 -> -3

符号位：最高位为符号位，0表示正数，1表示负数。在位运算中符号位也参与运算。

2. 按位非操作 ~

~ 1 = 0 ~ 0 = 1

~ 把num的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

00 00 01 01 -> 5 ~ --- 11 11 10 10 -> -6 11 11 10 11 -> -5 ~ --- 00 00 01 00 -> 4

3. 按位与操作 &

1 & 1 = 1 1 & 0 = 0 0 & 1 = 0 0 & 0 = 0

只有两个对应位都为 1 时才为 1

00 00 01 01 -> 5 & 00 00 01 10 -> 6 --- 00 00 01 00 -> 4

4. 按位或操作 |

1 | 1 = 1 1 | 0 = 1 0 | 1 = 1 0 | 0 = 0

只要两个对应位中有一个 1 时就为 1

00 00 01 01 -> 5 | 00 00 01 10 -> 6 --- 00 00 01 11 -> 7

5. 按位异或操作 ^

1 ^ 1 = 0 1 ^ 0 = 1 0 ^ 1 = 1 0 ^ 0 = 0

只有两个对应位不同时才为 1

00 00 01 01 -> 5 ^ 00 00 01 10 -> 6 --- 00 00 00 11 -> 3

异或操作的性质：满足交换律和结合律

A: 00 00 11 00 B: 00 00 01 11 A^B: 00 00 10 11 B^A: 00 00 10 11 A^A: 00 00 00 00 A^0: 00 00 11 00 A^B^A: = A^A^B = B = 00 00 01 11

6. 按位左移操作 <<

num << i 将num的二进制表示向左移动i位所得的值。

00 00 10 11 -> 11 11 << 3 --- 01 01 10 00 -> 88

7. 按位右移操作 >>

num >> i 将num的二进制表示向右移动i位所得的值。

00 00 10 11 -> 11 11 >> 2 --- 00 00 00 10 -> 2

8. 利用位运算实现快速计算

通过 <<，>> 快速计算2的倍数问题。

n << 1 -> 计算 n*2 n >> 1 -> 计算 n/2，负奇数的运算不可用 n << m -> 计算 n*(2^m)，即乘以 2 的 m 次方 n >> m -> 计算 n/(2^m)，即除以 2 的 m 次方 1 << n -> 2^n

通过 ^ 快速交换两个整数。

a ^= b b ^= a a ^= b

通过 a & (-a) 快速获取a的最后为 1 位置的整数。

00 00 01 01 -> 5 & 11 11 10 11 -> -5 --- 00 00 00 01 -> 1 00 00 11 10 -> 14 & 11 11 00 10 -> -14 --- 00 00 00 10 -> 2

9. 利用位运算实现整数集合

一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。

比如集合 {1, 3, 4, 8}，可以表示成 01 00 01 10 10 而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

元素与集合的操作：

a | (1<<i) -> 把 i 插入到集合中 a & ~(1<<i) -> 把 i 从集合中删除 a & (1<<i) -> 判断 i 是否属于该集合（零不属于，非零属于）

集合之间的操作：

a 补 -> ~a a 交 b -> a & b a 并 b -> a | b a 差 b -> a & (~b)

注意：整数在内存中是以补码的形式存在的，输出自然也是按照补码输出。

【例子】C#语言输出负数。

class Program { static void Main(string[] args) { string s1 = Convert.ToString(-3, 2); Console.WriteLine(s1); // 11111111111111111111111111111101 string s2 = Convert.ToString(-3, 16); Console.WriteLine(s2); // fffffffd } }

【例子】 Python 的bin() 输出。

print(bin(3)) # 0b11 print(bin(-3)) # -0b11 print(bin(-3 & 0xffffffff)) # 0b11111111111111111111111111111101 print(bin(0xfffffffd)) # 0b11111111111111111111111111111101 print(0xfffffffd) # 4294967293

是不是很颠覆认知，我们从结果可以看出：

Python中bin一个负数（十进制表示），输出的是它的原码的二进制表示加上个负号，巨坑。Python中的整型是补码形式存储的。Python中整型是不限制长度的不会超范围溢出。

所以为了获得负数（十进制表示）的补码，需要手动将其和十六进制数0xffffffff进行按位与操作，再交给bin()进行输出，得到的才是负数的补码表示。

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练习题：

leetcode 习题 136. 只出现一次的数字

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

尝试使用位运算解决此题。

题目说明:

""" Input file example1: [2,2,1] example2: [4,1,2,1,2] Output file result1: 1 result2: 4 """ class Solution: def singleNumber(self, nums: List[int]) -> int: # your code here