CINTA第五次作业 1. 证明：群 G 的非空子集 H 是 G 的子群，当且仅当 H !∈ ∅，且对任意 a, b ∈ H，ab^(−1) ∈ H。
解:
充分性： 设非空子集 H 是 G 的子群 则 由群公理知 对于b∈H 所有b^(−1)∈H ∵a∈H 由群封闭性知 ab^(-1)∈H
必要性：对于b∈H 所有b^(−1)∈H ∴b(−1)(−1)∈H即 b∈H 则对于任意a,b∈H 有ab∈H //1.封闭性得证 2.结合律显然成立 存在 1 使 所有a∈H存在 a1=1a=a ∵b^(−1)∈H 故所有a∈H有aa^(-1)=1 可证集合H是群
得证，群 G 的非空子集 H 是 G 的子群，当且仅当 H !∈ ∅，且对任意 a, b ∈ H，ab^(−1) ∈ H。
设G是阿贝尔群，m是任意整数，记 G^m={g ^ m:g\in G}。请证明G ^ m是G的一个子群。
解: 设a∈G由乘法封闭性得 a * a∈G即a^2∈G 则a * a^2∈G ………… a * a^(k-1)∈G，k∈Z 故群G^m包含于群G G≥G^m得证
证明:如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群。
解: 由题:G={ e } 设：集合H= {e^k : k ∈ Z} 则 H={ e }=G 故群G是循环群得证
证明:循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶
解: 设：g∈群换群G，h∈群G 令：ord(g)=m，ord(h)=n g^m=e h^n=e
