应用场景-修路问题

看一个应用场景和问题：

胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短? 思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少

最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树

N个顶点，一定有N-1条边

包含全部顶点

N-1条边都在图中

举例说明(如图:)

求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普里姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图普利姆的算法如下: 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.

图解

代码

package prim; import java.util.Arrays; public class PrimAlgorithm { public static void main(String[] args) { // 测试图是否创建成功 char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; int verxs = data.length; // 邻接矩阵关系使用二维数组描述 int[][] weight = new int[][]{ {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2}, {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3}, {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000}, {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000}, {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4}, {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6}, {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}}; // 创建一个MGraph对象 MGraph mGraph = new MGraph(verxs); // 创建一个MinTree对象 MinTree minTree = new MinTree(); minTree.createGraph(mGraph, verxs, data, weight); // 输出 minTree.showGraph(mGraph); // 测试普里姆算法 minTree.prim(mGraph,0); } } // 创建最小生成树 ———> 村庄的图 class MinTree { /** * 创建邻接矩阵 * * @param graph 图对象 * @param verxs 图对应顶点个数 * @param data 图的各个顶点的值 * @param weight 图的邻接矩阵 */ public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) { int i, j; for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点 graph.data[i] = data[i]; for (j = 0; j < verxs; j++) { graph.weight[i][j] = weight[i][j]; } } } /** * 显示图的邻接矩阵 * * @param graph 图对象 */ public void showGraph(MGraph graph) { for (int[] link : graph.weight) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } /** * 编写prim算法，的到最小生成树 * * @param graph 图 * @param v 起始点,表示从图的第几个结点开始生成 'A'->0 'B'->1 */ public void prim(MGraph graph, int v) { // visited[] 标记结点（顶点）是否被访问过，默认元素的值都是0，表示没有访问过 int visited[] = new int[graph.verxs]; // for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // visited[i] = 0; // } // 把当前结点标记为已访问 visited[v] = 1; // 用h1和h2记录两个顶点的下标 int h1 = -1; int h2 = -1; int minWeight = 10000; // 将miniWeight初始化成一个大数，后面的遍历过程中，会被替换 for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有graph.verxs个顶点，所以普里姆算法结束后，会有graph.verxs-1条边 // 确定每一次生成的子图，和哪个结点的距离最近 for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点 for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j结点表示还未访问过的结点 if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) { // 替换minWeight,寻找已访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边 minWeight = graph.weight[i][j]; h1 = i; h2 = j; } } } // 找到了一条边是最小的 System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight); // 将当前找到的结点标记为已经访问 visited[h2] = 1; // miniWeight重置为10000 minWeight = 10000; } } } class MGraph { int verxs; // 表示图的节点个数 char[] data; // 存放节点数据 int[][] weight; // 存放边,邻接矩阵 public MGraph(int verxs) { this.verxs = verxs; data = new char[verxs]; weight = new int[verxs][verxs]; } }