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插值的基本概念内插与外插插值基函数
插值的基本概念
插值问题：由实验或测量得到
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在互异点
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
x_0,x_1,...,x_n
x0,x1,...,xn得到
y
0
,
y
1
,
.
.
.
,
y
n
y_0,y_1,...,y_n
y0,y1,...,yn构造一简单函数
p
(
x
)
p(x)
p(x)作为
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)的近似表达式
y
=
f
(
x
)
≈
p
(
x
)
y=f(x)\approx p(x)
y=f(x)≈p(x)
p
(
x
)
p(x)
p(x)满足：
p
(
x
0
)
=
y
0
,
.
.
.
,
p
(
x
n
)
=
y
n
(1)
p(x_0)=y_0,...,p(x_n)=y_n\tag{1}
p(x0)=y0,...,p(xn)=yn(1)
f
(
x
)
f(x)
f(x):被插值函数，
p
(
x
)
p(x)
p(x):插值函数，
x
0
,
.
.
.
,
x
n
x_0,...,x_n
x0,...,xn:插值节点，（1）式：插值条件
插值的任务：
由已知观测点→为未知量建立一个简单、连续的解析模型由该模型能推测未知量在未观测点的特性
内插与外插
举个例子，已知的观测点为(0,12),(4,20)预测点
x
=
2
x=2
x=2——内插，预测点
x
=
10
x=10
x=10——外插内插法在样本数据的范围内预测，比外插法要准
插值基函数
在一逼近函数类中选取一组线性无关的函数
φ
i
(
i
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
\varphi_i(i=0,1,2,...,n)
φi(i=0,1,2,...,n)插值函数
p
(
x
)
:
p(x):
p(x):
c
0
φ
0
(
x
)
c_0\varphi_0(x)
c0φ0(x)
