平衡二叉树（AVL树）

1、问题引入

给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在.

左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.插入速度没有影响查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢解决方案-平衡二叉树(AVL)

2、基本介绍

平衡二叉树也叫平衡 二叉搜索树（Self-balancingbinary search tree）又被称为 AVL 树，可以保证查询效率较高。具有以下特点：它是一 一 棵空树或 它的左右两个子树的==高度差的绝对值不超过 1==，并且 左右两个子树都是一棵 平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。举例说明, 看看下面哪些 AVL 树, 为什么?

3、单旋转(left)

3.1、问题分析

要求： 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {4,3,6,5,7,8}

3.2、代码实现

//左旋转方法 private void leftRotate(){ //创建新的节点，以当前节点的值 Node newNode = new Node(value); //把新的节点的左子树设置成当前节点的左子树 newNode.left = left; //把新的节点的右子树设置成当前节点的右子树的左子树 newNode.right = right.left; //把当前节点的值替换为右子节点的值 value = right.value; //把当前节点的右子树设置成当前节点右子树的右子树 right = right.right; //把当前节点的左子树（左子节点）设置成新的节点 left = newNode; }

4、右旋转（right）

4.1、问题分析

要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {10,12, 8, 9, 7, 6}

4.2、代码实现

//右旋转 private void rightRotate(){ Node newNode = new Node(value); newNode.right = right; newNode.left = left.right; value = left.value; left = left.left; right = newNode; }

5、双旋转

5.1、问题分析

前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转 不能完成平衡二叉树的转换。比如数列 int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树. int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树

解决思路分析

当符合右旋转的条件时如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的左子树的高度先对当前这个结点的左节点进行左旋转在对当前结点进行右旋转的操作即可

如果是在左旋转的条件下，把右全换成左即可

5.2、代码实现（完整）

public class AVLTreeDemo { public static void main(String[] args) { // int[] arr = {4,3,6,5,7,8,}; 用于左旋转 // int[] arr = {10,12,8,9,7,6}; 用于右旋转 int[] arr = { 10, 11,7,6,8,9}; //用于双旋转 //创建一个AVLTree对象 AVLTree avlTree = new AVLTree(); //添加节点 for (int i = 0; i < arr.length; i++) { avlTree.add(new Node(arr[i])); } //遍历 System.out.println("中序遍历"); avlTree.infixOrder(); System.out.println("在没有平衡处理前~~"); System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height()); //3 System.out.println("树的左子树的高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight()); //2 System.out.println("树的右子树的高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight()); //2 System.out.println("当前根节点=" + avlTree.getRoot()); //8 System.out.println("根节点的左子节点=" + avlTree.getRoot().right.right); // 11 } } //创建AVL树 class AVLTree{ private Node root;//指向二叉排序树的根节点 public Node getRoot(){ return root; } //查找要删除的节点 public Node search(int value){ if (root == null){ return null; }else { return root.search(value); } } //查找父节点 public Node searchParent(int value){ if (root == null){ return null; }else { return root.searchParent(value); } } //编写方法 //1. 返回的 以node节点 为根节点的二叉排序树的最小节点的值 //2. 删除node 为根节点的二叉排序树的最小节点 /** * * @param node 传入的节点（当做二叉排序树的根节点） * @return 返回的 以node为根节点的二叉排序树的最小节点的值 */ public int delRightTreeMin(Node node){ Node target = node; //循环的查找左节点， 就会找到最小值 while (target.left != null){ target = target.left; } //这时 target 就指向了最小节点 //删除最小节点 delNode(target.value); return target.value; } //删除节点 public void delNode(int value){ if (root == null){ return; }else { //1、先找到要删除的节点 Node targetNode = search(value); //如果没有找到要删除的节点 if (targetNode == null){ return; } //如果我们发现当前这个二叉排序树只有一个节点 if (root.left == null && root.right == null){ root = null; return; } //去查找targetNode的父节点 Node parent = searchParent(value); //（注：即便要删的是根节点的话，即父节点为空的情况，我们也不用处理，因为根节点同样是包含在有两颗子树的删除方法里的） //但是在删除只有一棵子树的根节点的时候需要考虑，因为如果下面的方法 // 里（有两颗子树的情况里）调用了parent.left(或者right但parent为null,所以就会报空指针异常) //如果要删除的节点是叶子节点 if (targetNode.left == null && targetNode.right == null){ //判断targetNode是父节点的左子节点还是右子节点 if ( parent.left != null && targetNode.value == parent.left.value){//是左子节点 parent.left = null; }else if (parent.right != null && parent.right.value == targetNode.value){//是右子节点 parent.right = null; } }else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null){ //注：删除有两个子树的节点是找到它的右子树中的最小的节点并把值保存，然后删除该节点，并把它的值赋给要删除的节点 //删除有两颗子树的节点 int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right); targetNode.value = minVal; }else {//注： 删除只有一颗子树的节点是把要删除的节点的左或者右子树连接到父节点的左或者右边 //删除只有一棵子树的节点 //如果要删除的节点有左子节点 （即只有左子树） if (targetNode.left != null){ if (parent != null){ //如果 targetNode 是parent的左子节点 if (parent.left.value == value){ parent.left = targetNode.left; }else { //说明targetNode是parent的右子节点 parent.right = targetNode.left; } }else { root = targetNode.left; } }else { if (parent != null){ //如果要删除的节点有右子节点 （即只有右子树） if (parent.left.value == value){ //如果targetNode是parent的左子节点 parent.left = targetNode.right; }else { //如果targetNode是parent的右子节点 parent.right = targetNode.right; } }else { root = targetNode.right; } } } } } //向二叉排序树添加节点的方法 public void add(Node node){ if (root == null){//如果是一棵空树， 则直接赋给rot即可 root = node; }else { root.add(node); } } /* 注： 二叉排序树是从小到大进行排序的， 只有用中序遍历才能输出我们想要的排好序的数 */ //中序遍历二叉排序树 public void infixOrder(){ if (root != null){ root.infixOrder(); }else { System.out.println("二叉树为空， 无法进行中序遍历~~"); } } } class Node{ int value; Node left; Node right; public Node(int value) { this.value = value; } //返回左子树的高度 public int leftHeight(){ if (left == null){ return 0; } return left.height(); } //返回右子树的高度 public int rightHeight(){ if (right == null){ return 0; } return right.height(); } //返回以该结点为根节点的树的高度 public int height(){ return Math.max(left == null ? 0 : leftHeight(),right == null ? 0 : rightHeight()) + 1; } //左旋转方法 private void leftRotate(){ //创建新的节点，以当前节点的值 Node newNode = new Node(value); //把新的节点的左子树设置成当前节点的左子树 newNode.left = left; //把新的节点的右子树设置成当前节点的右子树的左子树 newNode.right = right.left; //把当前节点的值替换为右子节点的值 value = right.value; //把当前节点的右子树设置成当前节点右子树的右子树 right = right.right; //把当前节点的左子树（左子节点）设置成新的节点 left = newNode; } //右旋转 private void rightRotate(){ Node newNode = new Node(value); newNode.right = right; newNode.left = left.right; value = left.value; left = left.left; right = newNode; } @Override public String toString() { return "Node{" + "value=" + value + '}'; } //添加节点 的方法 //递归的形式添加节点， 注意满足二叉排序树的要求 /* 注： ，每次添加都是BinarySortTree通过 root 来调用添加方法的 */ public void add(Node node){ //如果要添加的节点为空， 就直接返回 if (node == null){ return; } if (node.value < this.value){//如果要添加的节点小于当前节点 if (this.left == null){//如果当前节点没有左孩子 this.left = node; }else { this.left.add(node);//如果不为空，即有左子树， 递归添加 } }else {//如果要添加的节点大于当前节点 if (this.right == null){//如果当前节点没有右孩子 this.right = node; }else { this.right.add(node);//如果不为空，即有右子树， 递归添加 } } //当添加完一个节点后，(如果右子树的高度 - 左子树的高度) > 1 , 左旋转 if (rightHeight() - leftHeight() > 1){ //如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度 if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()){ //先对右子节点进行右旋转 right.rightRotate(); //然后再对当前节点进行左旋转 leftRotate(); }else { //直接进行左旋转即可 leftRotate(); } return; } //当添加完一个节点后，(如果左子树的高度 - 右子树的高度) > 1 , 右旋转 if (leftHeight() - rightHeight() > 1){ //如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的左子树的高度，这种情况下如果直接旋转的话仍然不满足平衡二叉树 if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()){ //先对当前节点的左节点(左子树)-> 左旋转 （这样一来左子树的左子树高度就会比左子树的右子树高度大了） left.leftRotate(); //再对当前节点进行右旋转 rightRotate(); }else { //直接进行右旋转即可 rightRotate(); } } } //中序遍历的方法 public void infixOrder(){ if (this.left != null){ this.left.infixOrder(); } System.out.println(this); if (this.right != null){ this.right.infixOrder(); } } /** * * @param value value希望删除的节点的值 * @return 如果找到返回该节点， 否则返回null */ public Node search(int value){ if (value == this.value){ //找到就是该节点 return this; }else if (value < this.value){//如果查找的节点小于当前节点， 向左子树递归查找 //如果左子节点为空 if (this.left == null){ return null; } return this.left.search(value); }else {//如果查找的值不小于当前节点， 向右子树递归 if (this.right == null){ return null; } return this.right.search(value); } } //查找要删除节点的父节点 public Node searchParent(int value){ //如果当前节点就是要删除的节点的父节点，就返回 if ((this.left != null && value == this.left.value)||(this.right != null && value == this.right.value)){ return this; }else if (this.left != null && value < this.value){//如果查找的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子节点不为空 return this.left.searchParent(value);//向左递归子树查找 }else if (this.right != null && value >= this.value){ return this.right.searchParent(value);//向右递归子树查找 }else { return null;//没有找到父节点 } } }

运行结果：

中序遍历 Node{value=6} Node{value=7} Node{value=8} Node{value=9} Node{value=10} Node{value=11} 在没有平衡处理前~~ 树的高度=3 树的左子树的高度=2 树的右子树的高度=2 当前根节点=Node{value=8} 根节点的左子节点=Node{value=11}