例 求解方程 d y d x = − x y (1.1.1) \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\tag{1.1.1} dxdy=−yx(1.1.1) 解 显然 y ≠ 0 y\ne 0 y=0，则方程(1.1.1)可化为 y d y = − x d x ydy=-xdx ydy=−xdx 两边求积分，得 ∫ y d y = − ∫ x d x \int ydy =-\int xdx ∫ydy=−∫xdx 求得通解 x 2 + y 2 = c x^2+y^2=c x2+y2=c
例 求解方程 d y d x = y x + tan y x (1.2.1) \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}+\tan\frac{y}{x}\tag{1.2.1} dxdy=xy+tanxy(1.2.1) 解 令 u = y x u=\frac{y}{x} u=xy 则方程(1.2.1)可化为 x d u d x + u = u + tan u x\frac{du}{dx}+u=u+\tan u xdxdu+u=u+tanu 整理得到 d u tan u = d x x \frac{du}{\tan u}=\frac{dx}{x} tanudu=xdx 两边积分，得到 ln ∣ sin u ∣ = ln ∣ x ∣ + c ′ \ln|\sin u|=\ln|x|+c' ln∣sinu∣=ln∣x∣+c′ 整理得到 sin u = c x (1.2.2) \sin u=cx\tag{1.2.2} sinu=cx(1.2.2) 另外，特解 u = 0 u=0 u=0也被包含在方程(1.2.2)中。 综上，方程的通解为 sin y x = c x \sin \frac{y}{x} =cx sinxy=cx
例 d y d x = x − y + 5 x − y − 2 (1.3.1) \frac{dy}{dx}=\frac{x-y+5}{x-y-2}\tag{1.3.1} dxdy=x−y−2x−y+5(1.3.1) 解 令 u = x − y u=x-y u=x−y 则方程(1.3.1)可化为 1 − d u d x = u + 5 u − 2 1-\frac{du}{dx}=\frac{u+5}{u-2} 1−dxdu=u−2u+5 整理后得到 − ( u − 2 ) d u = 7 d x -(u-2)du=7dx −(u−2)du=7dx 两边求积分，得到 − u 2 + 4 u = 14 x + c -u^2+4u=14x+c −u2+4u=14x+c 得到通解 ( x − y ) 2 + 4 y + 10 x = c (x-y)^2+4y+10x=c (x−y)2+4y+10x=c 例 d y d x = x − y + 1 x + y − 3 (1.3.2) \frac{dy}{dx}=\frac{x-y+1}{x+y-3}\tag{1.3.2} dxdy=x+y−3x−y+1(1.3.2) 解 求解方程组： { x − y + 1 = 0 x + y − 3 = 0 \left\{\begin{aligned} x-y+1=0\\ x+y-3=0 \end{aligned} \right. {x−y+1=0x+y−3=0 得 x = 1 , y = 2 x=1,y=2 x=1,y=2 令 { x = X + 1 y = Y + 2 \left\{\begin{aligned} x = X+1\\ y = Y+2 \end{aligned} \right. {x=X+1y=Y+2 则方程 ( 1.3.2 ) (1.3.2) (1.3.2)可化为： d Y d X = X − Y X + Y (1.3.3) \frac{dY}{dX}=\frac{X-Y}{X+Y}\tag{1.3.3} dXdY=X+YX−Y(1.3.3) 再令 u = Y X u=\frac{Y}{X} u=XY 则方程 ( 1.3.3 ) (1.3.3) (1.3.3)可化为 d X X = 1 + u 1 − 2 u − u 2 d u \frac{dX}{X}=\frac{1+u}{1-2u-u^2}du XdX=1−2u−u21+udu 两边求积分，整理，得： X 2 ( 1 − 2 u − u 2 ) = c ′ X^2(1-2u-u^2)=c' X2(1−2u−u2)=c′ 把 X , u X,u X,u重新用 x , y x,y x,y表示，得： x 2 − y 2 − 2 x y + 2 x + 6 y = c x^2-y^2-2xy+2x+6y=c x2−y2−2xy+2x+6y=c
即 可分离变量的微分方程
例 求解方程 ( x + 1 ) d y d x − n y = e x ( x + 1 ) n + 1 (2.1.1) (x+1)\frac{dy}{dx}-ny=e^x(x+1)^{n+1}\tag{2.1.1} (x+1)dxdy−ny=ex(x+1)n+1(2.1.1)这里 n n n为常数. 解
%%%%%%%%%%%%方法一%%%%%%%%%%%
整理方程得到 d y d x = n x + 1 y + e x ( x + 1 ) n \frac{dy}{dx}=\frac{n}{x+1}y+e^x(x+1)^n dxdy=x+1ny+ex(x+1)n
首先，求解微分方程 d y d x = n x + 1 y (2.1.2) \frac{dy}{dx}=\frac{n}{x+1}y\tag{2.1.2} dxdy=x+1ny(2.1.2) 不难求得方程(2.1.2)的通解为： y = c 1 ( x + 1 ) n y =c_1 (x+1)^n y=c1(x+1)n 利用常数变易法 设 y = c ( x ) ( x + 1 ) n (2.1.3) y = c(x)(x+1)^n\tag{2.1.3} y=c(x)(x+1)n(2.1.3) 是方程(2.1.1)的通解 将方程(2.1.3)代入方程(2.1.1)中，化简得： c ′ ( x ) = e x c'(x)=e^x c′(x)=ex 所以 c ( x ) = e x + c c(x)=e^x+c c(x)=ex+c 所以方程(2.1.1)的通解为 y = ( e x + c ) ( x + 1 ) n y=(e^x+c)(x+1)^n y=(ex+c)(x+1)n %%%%%%%%%%%%方法二%%%%%%%%%%% 一阶线性非齐次微分方程 d y d x = P ( x ) y + Q ( x ) \frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x) dxdy=P(x)y+Q(x)的通解为： y = e ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x d x + c ) (2.1.4) y = e^{\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+c)\tag{2.1.4} y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e−∫P(x)dxdx+c)(2.1.4) 在本题中， P ( x ) = n x + 1 P(x)=\frac{n}{x+1} P(x)=x+1n, Q ( x ) = e x ( x + 1 ) n Q(x)=e^x(x+1)^n Q(x)=ex(x+1)n 代入公式，即可得到通解 y = ( e x + c ) ( x + 1 ) n y=(e^x+c)(x+1)^n y=(ex+c)(x+1)n
例 求解方程 d y d x = 6 y x − x y 2 (2.2.1) \frac{dy}{dx}=6\frac{y}{x}-xy^2\tag{2.2.1} dxdy=6xy−xy2(2.2.1) 解 情形一： y = 0 y=0 y=0，此时 y = 0 y=0 y=0为方程的一个特解 情形二： y ≠ 0 y\ne 0 y=0 等式两边除以 y 2 y^2 y2，得到： 1 y 2 d y d x = 6 1 x y − x (2.2.2) \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx} = 6\frac{1}{xy}-x\tag{2.2.2} y21dxdy=6xy1−x(2.2.2) 令 z = 1 y z = \frac{1}{y} z=y1 方程(2.2.2)可化为： d z d x = − 6 x z + x \frac{dz}{dx}=-\frac{6}{x}z+x dxdz=−x6z+x 这是一个一阶线性非齐次方程，代入公式(2.1.4)，得到： z = x 2 8 + c x 6 (2.2.3) z=\frac{x^2}{8}+\frac{c}{x^6}\tag{2.2.3} z=8x2+x6c(2.2.3) 将 z z z用 y y y替换回来，得到： 1 z = x 2 8 + c x 6 \frac{1}{z}=\frac{x^2}{8}+\frac{c}{x^6} z1=8x2+x6c
例 求解方程 y ′ = y 2 − x 2 + 1 (2.3.1) y'=y^2-x^2+1\tag{2.3.1} y′=y2−x2+1(2.3.1) 解 观察得到， y ~ = x \tilde{y}=x y~=x是方程的一个特解 设 y = x + u y=x+u y=x+u是方程的通解，将 y y y带入(2.3.1)中，得： d u d x = 2 x u + u 2 (2.3.2) \frac{du}{dx}=2xu+u^2\tag{2.3.2} dxdu=2xu+u2(2.3.2) 方程(2.3.2)是一个伯努利方程 情形一： u = 0 u=0 u=0，得到特解： y = x y=x y=x 清醒二： u ≠ 0 u\ne 0 u=0： 方程(2.3.2)等式两端除以 u 2 u^2 u2，得到： 1 u 2 d u d x = 2 x u + 1 (2.3.3) \frac{1}{u^2}\frac{du}{dx}=2\frac{x}{u}+1\tag{2.3.3} u21dxdu=2ux+1(2.3.3) 令 w = 1 u w=\frac{1}{u} w=u1，则方程(2.3.3)可化为： d w d x = − 2 x w − 1 (2.3.4) \frac{dw}{dx}=-2xw-1\tag{2.3.4} dxdw=−2xw−1(2.3.4) 方程(2.3.4)是一个一阶线性非齐次微分方程，带入公式(2.1.4)，求得 w = e − x 2 ( c − ∫ e x 2 d x ) w=e^{-x^2}(c-\int e^{x^2}dx) w=e−x2(c−∫ex2dx) 将 w w w用 x , y x,y x,y表示，得到： y = x + e x 2 c − ∫ e x 2 d x y=x+\frac{e^{x^2}}{c-\int e^{x^2}dx} y=x+c−∫ex2dxex2
例 求解方程 ( e x + y ) d x + ( x − 2 sin y ) d y = 0 (3.1.1) (e^x+y)dx+(x-2\sin y)dy =0\tag{3.1.1} (ex+y)dx+(x−2siny)dy=0(3.1.1) 解 设： M ( x , y ) = e x + y M(x,y)=e^x+y M(x,y)=ex+y， N ( x , y ) = x − 2 sin y N(x,y)=x-2\sin y N(x,y)=x−2siny 因为 ∂ M ( x , y ) ∂ y = 1 = ∂ N ( x , y ) ∂ x \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 1 =\frac{\partial N(x,y)}{\partial x} ∂y∂M(x,y)=1=∂x∂N(x,y) 所以方程(3.1.1)是恰当方程 设方程的通解为 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) 则 ∂ u ∂ x = e x + y (3.1.2) \frac{\partial u}{\partial x}=e^x+y \tag{3.1.2} ∂x∂u=ex+y(3.1.2) ∂ u ∂ y = x − 2 sin y (3.1.3) \frac{\partial u}{\partial y}=x-2\sin y \tag{3.1.3} ∂y∂u=x−2siny(3.1.3) 方程(3.1.2)对 x x x 求积分，得到： u ( x , y ) = ∫ ( e x + y ) d x + ψ ( y ) = e x + x y + ψ ( y ) (3.1.4) u(x,y) =\int(e^x+y)dx+\psi(y)=e^x+xy+\psi(y)\tag{3.1.4} u(x,y)=∫(ex+y)dx+ψ(y)=ex+xy+ψ(y)(3.1.4) 将(3.1.4)代入(3.1.3)中，得到： ψ ′ ( x ) = − 2 sin y (3.1.5) \psi'(x)=-2\sin y \tag{3.1.5} ψ′(x)=−2siny(3.1.5) 对(3.1.5)求积分，得到： ψ ( x ) = 2 cos y (3.1.6) \psi(x) = 2\cos y \tag{3.1.6} ψ(x)=2cosy(3.1.6) 将(3.1.6)代入(3.1.4)中，得到： u ( x , y ) = e x + x y + 2 cos y u(x,y)=e^x+xy+2\cos y u(x,y)=ex+xy+2cosy 所以方程(3.1.1)的通解为： e x + x y + 2 cos y = c e^x+xy+2\cos y=c ex+xy+2cosy=c
例 求解方程 3 x 2 d x + 4 y 3 d y + 6 x y 2 d x + 6 x 2 y d y (3.2.1) 3x^2dx + 4y^3dy+6xy^2dx+6x^2ydy\tag{3.2.1} 3x2dx+4y3dy+6xy2dx+6x2ydy(3.2.1) 解 不难看出方程(3.2.1)可化为： d ( x 3 + y 4 ) + d ( 3 x 2 y 2 ) d(x^3+y^4)+d(3x^2y^2) d(x3+y4)+d(3x2y2) 即： d ( x 3 + y 4 + 3 x 2 y 2 ) = 0 d(x^3+y^4+3x^2y^2)=0 d(x3+y4+3x2y2)=0 所以方程的通解为： x 3 + y 4 + 3 x 2 y 2 = c x^3+y^4+3x^2y^2=c x3+y4+3x2y2=c
例 ( y cos x + 2 x e y ) d x + ( sin x + x 2 e y + 2 ) d y = 0 (3.3.1) (y\cos x+2xe^y)dx+(\sin x+x^2e^y+2)dy=0\tag{3.3.1} (ycosx+2xey)dx+(sinx+x2ey+2)dy=0(3.3.1) 解 u ( x , y ) = ∫ ( 0 , 0 ) ( x , y ) ( y cos x + 2 x e y ) d x + ( sin x + x 2 e y + 2 ) d y = ∫ 0 x 2 x d x + ∫ 0 y ( sin x + x 2 e y + 2 ) d y = x 2 + y sin x + ( x 2 − 1 ) e y + 2 y = y sin x + x 2 e y + 2 y \begin{aligned} u(x,y)&=\int_{(0,0)}^{(x,y)}(y\cos x+2xe^y)dx+(\sin x+x^2e^y+2)dy\\ &=\int_0^x2xdx+\int_0^y(\sin x+x^2e^y+2)dy\\ &=x^2+y\sin x+(x^2-1)e^y+2y\\ &=y\sin x+x^2e^y+2y \end{aligned} u(x,y)=∫(0,0)(x,y)(ycosx+2xey)dx+(sinx+x2ey+2)dy=∫0x2xdx+∫0y(sinx+x2ey+2)dy=x2+ysinx+(x2−1)ey+2y=ysinx+x2ey+2y 所以方程的通解为 c = y sin x + x 2 e y + 2 y c=y\sin x+x^2e^y+2y c=ysinx+x2ey+2y
例 求解微分方程 ( y 2 2 + 2 y e x ) d x + ( y + e x ) d y = 0 (3.4.1) (\frac{y^2}{2}+2ye^x)dx+(y+e^x)dy=0\tag{3.4.1} (2y2+2yex)dx+(y+ex)dy=0(3.4.1) 其中 M ( x , y ) = y 2 2 + 2 y e x M(x,y)=\frac{y^2}{2}+2ye^x M(x,y)=2y2+2yex， N ( x , y ) = y + e x N(x,y)=y+e^x N(x,y)=y+ex 由于 ∂ M ∂ y − ∂ N ∂ x N = y + e x y + e x = 1 = ψ ( x ) \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{y+e^x}{y+e^x}=1=\psi(x) N∂y∂M−∂x∂N=y+exy+ex=1=ψ(x) 仅与 y y y无关，所以方程有一个只与 x x x有关的积分因子 μ ( x ) = e ∫ ψ ( x ) d x = e x \mu(x)=e^{\int\psi(x)dx}=e^x μ(x)=e∫ψ(x)dx=ex 对方程(3.4.1)两边乘以 e x e^x ex得到： ( y 2 2 e x + 2 y e 2 x ) d x + ( y e x + e 2 x ) d y (3.4.2) (\frac{y^2}{2}e^x+2ye^{2x})dx+(ye^x+e^{2x})dy\tag{3.4.2} (2y2ex+2ye2x)dx+(yex+e2x)dy(3.4.2) 求解恰当方程(3.4.2)，得到通解： y 2 2 e x + y e 2 x = c \frac{y^2}{2}e^x+ye^{2x}=c 2y2ex+ye2x=c
