看一个应用场景和问题：
某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止图解分析:
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。 例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。不同的连通方式会导致权值也是不一样的
克鲁斯卡尔的算法演示:
上面从C到E,C和F都会产生回路,所以我们需要避免
文字描述:
第1步：将边<E,F>加入R中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
算法分析:
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题： 问题一: 对图的所有边按照权值大小进行排序。
采用排序算法进行排序即可。
问题二: 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点： (01) C的终点是F。 (02) D的终点是F。 (03) E的终点是F。 (04) F的终点是F。
关于终点的说明：
就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。 package com.qiu.kruskal; import java.util.Arrays; public class KruskalCase { //边的个数 private int edgeNum; //顶点数组 private char[] vertexs; //邻接矩阵 private int[][] matrix; //用INF表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { char[] vertexs = {'A','B','C','D','E','F','G'}; //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 ,0表示同一个点, int matrix[][] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; //创建对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); //输出构建的 kruskalCase.print(); EData[] edges = kruskalCase.getEdges(); //没有排序 System.out.println(Arrays.toString(kruskalCase.getEdges())); //排序后 kruskalCase.sortEdges(edges); System.out.println(Arrays.toString(edges)); //演示 System.out.println(); kruskalCase.kruskal(); } //构造器 public KruskalCase(char[] vertexs,int[][] matrix){ //初始化边的个数 int vlen = vertexs.length; //初始化顶点,复制拷贝的方式 this.vertexs = new char[vlen]; for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } //初始化边,使用的是复制拷贝的方式 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for (int i = 0; i < vlen; i++) { for (int j = 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } //统计边 for (int i = 0; i < vlen; i++) { for (int j = i+1; j < vlen; j++) { if (this.matrix[i][j] != INF){ edgeNum++; } } } } //打印邻接矩阵 public void print(){ System.out.println("邻接矩阵为:"); for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) { System.out.printf("%12d\t",matrix[i][j]); } System.out.println(); } } /** * //对边进行排序 * @param edges 边的集合 */ public void sortEdges(EData[] edges){ for (int i = 0; i < edges.length; i++) { for (int j = 0; j < edges.length-1-i; j++) { if (edges[j].weight > edges[j+1].weight){ EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = tmp; } } } } /** * * @param ch 顶点的值,比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标,如果找不到,就返回-1 */ private int getPosition(char ch){ for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if (vertexs[i] == ch){ return i; } }//找不到 return -1; } /** * 获取图中的边,放到EData[]数组中,后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] [['A','B','C']] * @return */ private EData[] getEdges(){ int index = 0; //把所有的边放到集合中去 EData[] edges = new EData[edgeNum]; for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for (int j = i+1; j <vertexs.length ; j++) { if (matrix[i][j] != INF){ edges[index++] = new EData(vertexs[i],vertexs[j],matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 获取下标为i的顶点的终点,用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends数组是在遍历过程中,逐步形成 * @param i 传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标 */ private int getEnd(int[] ends,int i){ while (ends[i] != 0){ i = ends[i]; } return i; } public void kruskal(){ //表示最后结果数组的索引 int index = 0; //用于保存已有最小生成树中的每个顶点在最小生成树中的终点 int[] ends = new int[edgeNum]; //创建结果数组,保存最后的最小生成树 EData[] res = new EData[edgeNum]; //获取图中所有的边的几个,一共有12条边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("获取图的边的集合"+Arrays.toString(edges)+"共"+edges.length+"条边"); //首先,按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges数组,将边添加到最小生成树时,判断是准备加入的边是否性成了回路,如果没有就加入rets,否则就不能加入 for (int i = 0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //获取到第i条边的第2个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //获取p1这个顶点在已有的最小生成树中的重点 int m = getEnd(ends,p1); //获取p1这个顶点在已有的最小生成树中的重点 int n = getEnd(ends,p2); //判断是否构成回路 if (m != n){ //没有构成回路 //设置m为在已有最小生成树的终点 ends[m] = n; //有一条边到res数组中 res[index++] = edges[i]; } } System.out.println("最小生成树为:"); //统计并打印最小生成树,输出res数组 for (int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(res[i]); } } } //创建一个类EData,它的对象实例就是表示的一条边 class EData{ //边的起点 char start; //边的终点 char end; //边的权值 int weight; //构造器 public EData(char start,char end,int weight){ this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } //后面重写toString方法,便于边的输出 @Override public String toString() { return "EData{" + "<" + start + "-" + end + ">, weight=" + weight + '}'; } }至此,公交站问题就基本解决了
