二十二、程序员10大算法之克鲁斯卡尔算法

一、克鲁斯卡尔算法介绍

       在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。        例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。 第1步：将边<E,F>加入R中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第2步：将边<C,D>加入R中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第3步：将边<D,E>加入R中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第4步：将边<B,F>加入R中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。 第5步：将边<E,G>加入R中。 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第6步：将边<A,B>加入R中。 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。 此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

二、代码实现

import java.util.Arrays; public class KruskalCase { private int edgeNum; //边的个数 private char[] vertexs; //顶点数组 private int[][] matrix; //邻接矩阵 //使用 INF 表示两个顶点不能连通 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; public static void main(String[] args) { char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 int matrix[][] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树. //创建KruskalCase 对象实例 KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix); //输出构建的 kruskalCase.print(); kruskalCase.kruskal(); } //构造器 public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { //初始化顶点数和边的个数 int vlen = vertexs.length; //初始化顶点, 复制拷贝的方式 this.vertexs = new char[vlen]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { this.vertexs[i] = vertexs[i]; } //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式 this.matrix = new int[vlen][vlen]; for(int i = 0; i < vlen; i++) { for(int j= 0; j < vlen; j++) { this.matrix[i][j] = matrix[i][j]; } } //统计边的条数 for(int i =0; i < vlen; i++) { for(int j = i+1; j < vlen; j++) { if(this.matrix[i][j] != INF) { edgeNum++; } } } } public void kruskal() { int index = 0; //表示最后结果数组的索引 int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点 //创建结果数组, 保存最后的最小生成树 EData[] rets = new EData[edgeNum]; //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边 EData[] edges = getEdges(); System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12 //按照边的权值大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges); //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入 for(int i=0; i < edgeNum; i++) { //获取到第i条边的第一个顶点(起点) int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4 //获取到第i条边的第2个顶点 int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5 //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点 int m = getEnd(ends, p1); //m = 4 //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点 int n = getEnd(ends, p2); // n = 5 //是否构成回路 if(m != n) { //没有构成回路 ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组 } } //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。 //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets System.out.println("最小生成树为"); for(int i = 0; i < index; i++) { System.out.println(rets[i]); } } //打印邻接矩阵 public void print() { System.out.println("邻接矩阵为: \n"); for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=0; j < vertexs.length; j++) { System.out.printf("%12d", matrix[i][j]); } System.out.println();//换行 } } /** * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */ private void sortEdges(EData[] edges) { for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换 EData tmp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = tmp; } } } } /** * * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1 */ private int getPosition(char ch) { for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { if(vertexs[i] == ch) {//找到 return i; } } //找不到,返回-1 return -1; } /** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */ private EData[] getEdges() { int index = 0; EData[] edges = new EData[edgeNum]; for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { if(matrix[i][j] != INF) { edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]); } } } return edges; } /** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解 */ private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0] while(ends[i] != 0) { i = ends[i]; } return i; } } //创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边 class EData { char start; //边的一个点 char end; //边的另外一个点 int weight; //边的权值 //构造器 public EData(char start, char end, int weight) { this.start = start; this.end = end; this.weight = weight; } //重写toString, 便于输出边信息 @Override public String toString() { return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]"; } }

三、测试结果

邻接矩阵为: 0 12 2147483647 2147483647 2147483647 16 14 12 0 10 2147483647 2147483647 7 2147483647 2147483647 10 0 3 5 6 2147483647 2147483647 2147483647 3 0 4 2147483647 2147483647 2147483647 2147483647 5 4 0 2 8 16 7 6 2147483647 2 0 9 14 2147483647 2147483647 2147483647 8 9 0 图的边的集合=[EData [<A, B>= 12], EData [<A, F>= 16], EData [<A, G>= 14], EData [<B, C>= 10], EData [<B, F>= 7], EData [<C, D>= 3], EData [<C, E>= 5], EData [<C, F>= 6], EData [<D, E>= 4], EData [<E, F>= 2], EData [<E, G>= 8], EData [<F, G>= 9]] 共12 最小生成树为 EData [<E, F>= 2] EData [<C, D>= 3] EData [<D, E>= 4] EData [<B, F>= 7] EData [<E, G>= 8] EData [<A, B>= 12]