AVL树

前言

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

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一、AVL是什么？

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

二、满足条件

1.它的左右子树都是AVL树

2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

三、实现AVL树

#pragma once template<class K, class V> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent; int _bf;//平衡因子 pair<K, V> _kv; AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) : _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _kv(kv) , _bf(0) {} }; template<class K, class V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv) { //1.先按搜索树的规则进行插入 if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } else { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } while (parent) { if (cur == parent->_left) parent->_bf--; else parent->_bf++; if (parent->_bf == 0) break; else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { if (parent->_bf == 2) { if (cur->_bf == 1) RotateL(parent); else if (cur->_bf == -1) RotateRL(parent); } else if (parent->_bf == -2) { if (cur->_bf == 1) RotateLR(parent); else if (cur->_bf == -1) RotateR(parent); } break; } } return true; } //左旋 void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) { subRL->_parent = parent; } subR->_left = parent; Node* ppNode = parent->_parent; parent->_parent = subR; if (_root == parent) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { subR->_parent = ppNode; if (ppNode->_left==parent) ppNode->_left = subR; else ppNode->_right = subR; } parent->_bf = subR->_bf = 0; } //右旋 void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) { subLR->_parent = parent; } subL->_right = parent; Node* ppNode = parent->_parent; parent->_parent = subL; if (_root == parent) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { subL->_parent = ppNode; if (ppNode->_left == parent) ppNode->_left = subL; else ppNode->_right = subL; } parent->_bf = subL->_bf = 0; } //右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(subR); RotateL(parent); if (bf == -1) { subR->_bf = 1; parent->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } } //左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL(subL); RotateR(parent); if (bf == -1) { subL->_bf = 0; parent->_bf = 1; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } } // void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; _InOrder(root->_right); } void InOrder() { _InOrder(_root); } int Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) return true; int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); return abs(leftHeight - rightHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); } bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } private: Node* _root = nullptr; }; void TestAVLTree() { int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; //int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }; AVLTree<int, int> t; for (auto e : a) { t.Insert(make_pair(e, e)); } t.InOrder(); cout << t.IsBalance() << endl; }

总结

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

下面是我对关于左旋右旋，左右双旋的简单记忆方法：

左旋：找父亲右结点，再从右节点找右左结点 右旋：找父亲左结点，再从左结点找左右结点

右左双旋：先找右结点，通过右找右左结点 ，设定这个结点的bf if(bf==-1) subR->_bf=1; else if(bf==1) parent->_bf=-1;

左右双旋：先找左结点，通过左找左右结点 ，设定这个结点的bf if(bf==-1) parent->_bf=1; else if(bf==-1) subL->_bf=-1;