一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2 输出: 3 解释: 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向右 -> 向下向右 -> 向下 -> 向右向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3 输出: 28

思路与代码

递归 思路非常简单，就是递归深度过大，导致时间超出限制。

class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) { if (m == 1 || n == 1) return 1; // 如果m或者n等于1，说明只有一条路可走 return uniquePaths(m-1, n) + uniquePaths(m, n-1); } }

动态规划

时间复杂度 O(mn) 空间复杂度 O(mn)

class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) { int[][] dp = new int[m][n]; for (int i = 0; i < m; i++){ for (int j = 0; j < n; j++){ if (i == 0 || j == 0) dp[i][j] = 1; else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; } } return dp[m-1][n-1]; } }

动态规划优化

时间复杂度 O(mn) 空间复杂度 O(n)

用dp[j] 表示每一行的结果

依次遍历每一行

dp[j] = dp[j] + dp[j-1]

左边的dp[j]表示第i行的dp[j] 右边的dp[j]表示第i-1行的dp[j] ; dp[j-1]表示第i行的dp[j-1]

class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) { int[] dp = new int[n]; Arrays.fill(dp, 1); for (int i = 1; i < m; i++){ for (int j = 1; j < n; j++){ dp[j] += dp[j-1]; } } return dp[n-1]; } }