经典控制理论建立模型

1.分析系统

首先，在我们面对一个需要进行建模的系统时，需要观察思考如下几点： · 系统的输入输出。 · 系统的物理，化学，电力等方面的规律。

2.建立模型

在分析了系统之后，我们接下来进行建模。所谓建模，就是将输入输出运用微分方程建立一个函数，这里要注意运用物理和电路等方面的定律，一般都与导数或积分有关，比如物理学中速度与位移的关系，电路中电流与电容、电压的关系。最后消去中间变量，最后得出整个系统输入与输出关系的微分方程式。以下参考知乎，为什么选择微分方程建模。 *控制论是一门喜欢简明与精确的学科，虽然在大多数问题中简明与精确取其一就十分难得了。它研究的对象是具有自调节能力的系统。这些系统往往有着明确的运作规律与调节机制。自然界与人类社会中有许多的现象虽然有一定的规律，但这些规律只能以一种动态的方式描述，就像上述的捕食模型一样，我们仅仅知道系统在每个状态有着什么样的演变趋势。这个时候我们最关键的数学工具就是微分方程，微分方程是对函数与其导数间关系的一种描述，也就是说它能够刻画系统的每一个动态过程，因此恰好能够解决对系统的描述只有动态规律的控制论问题。 * 举个简单的例子，对以下系统建模： 写出输入电压$u_r$与输出电压$u_c$之间的微分方程式。

根据基尔霍夫定律，可写出以下方程组： $$iR+L\frac{d_i}{d_t}+u_c=u_r$$ $$u_c=\frac{1}{C}\int idt$$ 现在我们已经建立了关于输入$u_c$和输出$u_r$之间的函数关系，但其中有电流i这个未知变量，我们将其整理消除。整理后得出： $$LC\frac{d^2{u}_c(t)}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_c(t)}{dt}+u_c(t)=u_r(t)$$ 这就是最后得出的电路数学模型，这是一种简单的一阶微方程。

3.求出传递函数

微分方程只是描述系统运动的一种基本的数学模型，通过对它的求解，可以得到在给定输入信号下的输出响应。但微分方程的求解有难度，计算量大，也不便分析系统的性能指标，所以引用传递函数。正常简单的一个输入输出模型如下所示：

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图中三个函数分别为$f(t)$,$h(t)$,$y(t)$,分别为输入信号，控制信号，输出信号，可以看出是三个时域信号。其中：$$y(t)=f(t)\ast h(t)$$, *为卷积符号，因为计算卷积十分麻烦，我们引用拉普拉斯变换，将时域信号转换到复数域信号（这里也用傅里叶转到频域，但拉普拉斯对信号的要求更广泛），转到复数域后原来的卷积变为乘法。 $$y(s)=f(s)\cdot h(s)$$ 当输入为单位脉冲时，系统为单位脉冲响应，脉冲响应函数$h(t)$也是传递函数的反拉普拉斯变换，之前说的是用传递函数的好处，这里是为什么能用递函数。此处涉及信号与系统，参考一下知乎单位脉冲响应。根据传递函数的不同，可以将其分为一下6类： $$h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=k-----比例环节$$ $$h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{k}{s}-----积分环节$$ $$h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{k}{Ts+1}-----惯性环节$$ $$h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{Ts}{Ts+1}-----微分环节$$ $$h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=\frac{k}{T^2{s}^2+2\epsilon Ts+1}-----震荡环节$$ $$h(s)=\frac{y(s)}{f(s)}=e^{-\tau s}-----纯滞后环节$$ 例如对上一章已经建立好的数学模型求传递函数，$$LC\frac{d^2{u}_c(t)}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_c(t)}{dt}+u_c(t)=u_r(t)$$可以看出，输入电压$u_r$与输出电压$u_c$都是与时间相关的函数，用拉普拉斯变换将其转到复数域,微分算子$\frac{d}{dt}$用复变量s表示： $$LC{s}^2{u}_c(s)+RCs{u}_c(s)+u_c(s)=u_r(s)$$,传递函数G(s)等于输出比输入:$$G(s)=\frac{u_c(s)}{u_r(s)}=\frac{1}{LC{s}^2+RCs+1}$$

计算传递函数或时间函数时，可参考拉氏变换对照表。算出传递函数后，一般我们还需要画出系统的信号流图，因为一个系统不可能只由一个传递函数组成，一个完整的系统是由多个传递函数和信号运算组成，在信号流图可清晰看出开环或是闭环，还可以计算出总的输出。

总结

以上就是自控原理的建模，建立模型后要对系统进行分析，来判断是否符合实际要求。