六自由度：

在了解了3x3矩阵能够代三维空间的表旋转后，下面介绍4x4矩阵中每行每列所代表三维空间的含义。

在虚拟现实、3D游戏中，仅仅能够三个自由度地旋转是不够的，在通常认识的三维空间中，自由物体总共有六个自由度：沿XYZ三个坐标轴的移动、绕XYZ三轴的旋转。3x3矩阵能够到表空间旋转信息，因此，我们还需要移动位置信息。

通常，位置信息可以使用point代表，因此，理论上，我们可以使用point中的xyz代表物体的空间位置，用3x3的矩阵道标物体的姿态，就能够将物体的空间六自由度完全表述清楚。当然，也可以用四元数和点两部分来表示。

但是，计算相对变得复杂，例如：当我们计算物体绕自己的XYZ中的某个轴旋转时，可以直接使用3x3矩阵或者四元数旋转即可，位置是不会变化的，但当我们需要物体沿着世界坐标的轴、其他定义的轴旋转时，物体在世界中不仅仅姿态会发生变化，位置也会发生变化。

4x4矩阵刚好就能解决这一问题，直接通过4x4矩阵的线性代数运算，就能表达物体的姿态和位置。

Matrix4x4：

在4x4矩阵中，总共时16个浮点数，默认的单位矩阵如下图：

若仅用于空间计算，则只看矩阵的前三行即可，第一列的（1，0，0）代表X轴，第二列的（0，1，0）代表Y轴，第三列的（0，0，1）代表Z轴，第四列的（0，0，0）代表空间位置。此外，第四行永远为（0，0，0，1）。

代码解析部分：

4x4矩阵的构造函数和析构函数如下：

/// constructor, unit matrix default. matrix4x4(); /// construct from another matrix4x4. matrix4x4(const matrix4x4& mat); /// move constructor. matrix4x4(matrix4x4&& mat) noexcept; /// construct from pointer, there must be sixteen values. matrix4x4(const real* data); /// destructor. virtual ~matrix4x4();

其他计算函数：

public: /// print on console. void print() const; /// is real, is available. bool isReal(); /// set rotate form x and y axis, calculate z axis automatically. void rotateFromXYAxis(const vector& vecX, const vector& vecY); /// set rotate from z axis, x and y are random, normalized vector. void rotateFromZAxis(const vector& vecZ); /// set rotate form matrix3x3. void rotateFromMatrix3x3(const matrix3x3& mat); /// set rotate form quaternion. void rotateFromQuaternion(const quaternion& q); /// set position form point. void positionFromPoint(const point& pt); /// set position form data. void positionFromData(const real x, const real y, const real z); /// get rotate from matrix4x4. [[nodiscard]] matrix3x3 getRotate() const; /// get position from matrix4x4. [[nodiscard]] point getPosition(); /// zero all data. void zero(); /// convert to unit matrix. void identity(); /// convert to invert matrix. void invert(); /// convert to transpose matrix. void transpose(); /// *this *= mat, save in this. void multiplied(const matrix4x4& mat); /// mat *= *this, save in this. void preMultiplied(const matrix4x4& mat); /// return *this * mat, non change in *this. [[nodiscard]] matrix4x4 multiply(const matrix4x4& mat) const; /// return mat * *this, non change in *this. [[nodiscard]] matrix4x4 preMultiply(const matrix4x4& mat) const; /// return *this * pt, non change in *this. [[nodiscard]] point multiply(const point& pt) const; /// return *this * vec, non change in *this. [[nodiscard]] vector multiply(const vector& vec) const; /// retuan determinate. real determinate() const; /// rotate around axis void rotateAxis(const real radians, const vector& vec); /// rotate around axis void rotateAxis(const real radians, Axis axis); /// rotate around self axis void rotateSelfAxis(const real radians, Axis axis); /// rotate around self axis void rotateSelfAxis(const real radians, const vector& vec);

大部分函数和Matrix3x3基本一样，不做介绍。

测试：

一、构造函数和析构函数部分：

qytk::matrix4x4 mat0; mat0.print(); qytk::matrix4x4 mat1(mat0); mat1.print(); double d[16] { 0,-1,0,0, 1,0,0,0, 0,0,1,0, 0,0,0,1 }; qytk::matrix4x4 mat2(d); mat2.print();

运行结果均为默认的单位矩阵，如下图：

 

 对于空间数据的赋值与计算，例如：

qytk::matrix3x3 mat3x3; mat3x3.rotateSelfAxis(PI / 2, qytk::Axis::X); mat4.rotateFromMatrix3x3(mat3x3); mat4.print(); qytk::quaternion q0; q0.rotateAxis(PI / 2, qytk::Axis::Z); mat4.rotateFromQuaternion(q0); mat4.print();

mat4的旋转部分来源于mat3x3，可以看出，mat3x3是在世界坐标原点的基础上绕X轴旋转90度得到的，结果如下：

可以看出，矩阵所代表的空间X轴时没有变化的，Y轴与最开始的Z轴重合，Z轴变为与最开始的-Y轴重合了，这符合我们的认知，计算式正确的。从第二部分代码的四元数计算中，可以看出，结果也是完全吻合的。

矩阵的旋转数据除了通过设置3x3矩阵、四元数之外，还能够通过设置XY轴、Z轴实现，如下：

mat5.identity(); mat5.rotateFromZAxis(vec1); mat5.print(); mat5.transpose(); mat5.print(); mat5.identity(); mat5.rotateFromXYAxis(vec0, vec1); mat5.multiplied(mat5); mat5.print();

需要特别注意的是，设置XY轴时，需要自己保证XY轴时正确的，相互垂直的，程序会自动计算Z轴。在通过Z轴设置旋转数据时，程序随机生成姿态的XY轴。

总结：

4x4的矩阵可用于表示三维空间的姿态、位置等信息，在空间计算中，既可以平移也可以旋转，同时，可以旋转旋转的轴位自身或者其他任何轴。为了更方便地进行空间计算，后续抽象出Transform类专门用于空间六自由度的运算。

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