定点数运算

1.定点数补码的加法

1.定义：

两个补码表示的数相加，符号位参加运算，且两数和的补码等于两数补码之和。两个数不管正负，均用补码表示，符号位应当做数值参加运算，符号位相加所产生的进位要丢掉，结果为补码。

2.举例：

X＝0.1011 Y＝-0.0101，求 X+Y＝？ 1 解： [X]补=0.1011，[Y]补=1.1011 [X]补+[Y]补 = 0.1011+1.1011 = 0.0110 = [X+Y]补 所以 X+Y = 0.0110

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2.定点数的补码减法

1.定义：

对于减法，（-Y）的补码称为[Y]补的机器负数，由[Y]补求[-Y]补的过程称为将[Y]补“变补”或对[Y]补求补，由[Y]补求[-Y]补的方法是，不管Y的真值为正或为负，都是将[Y]补的各位连同符号位在内全变反后，最低位加1。

2.说明：

将“某数的补码表示”与“变补”这两个概念区分开来。一个负数由原码表示转换成补码表示时，符号位是不变的，仅对数值位各位变反，末位加“1”。而变补则不论这个数的真值是正是负，一律连同符号位一起变反（所有的二进制位一起变反），末位加“1”。

3.举例

X=-0.1011，Y=-0.0110, 求X-Y=?

解： [X]补=1.0101，[Y]补=1.1010，[-Y]补=0.0110 [X]补+[-Y]补 = 1.1011 = [X-Y]补 所以 X-Y = 1.0101 = -0.0101

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3.原码一位乘法

1.定义

原码一位乘法是从手算演变而来的。即用两个操作数的绝对值相乘，乘积的符号为两操作数符号的异或值（同号为正，异号为负）。

定点原码一位乘法(Unsigned Binary Multiplication)

设被乘数 $[X{]}_{原}=X_f{X}_1{X}_2...X_{n-1}{X}_n$

乘数 $[Y{]}_{原}=Y_f{Y}_1{Y}_2...Y_{n-1}{Y}_n$

乘积 $[Z{]}_{原}=Z_f{Z}_1{Z}_2...Z2n-1Z_{2n}$

2.运算规则：

由于机器字长通常仅有 n 位，两个 n 位数相乘结果为 2n 位；且仅仅有两个操作数相加的加法器，难以胜任将 n 个位积一次相加起来。因此，在计算机中不能直接照搬手工计算乘法的方法，必须进行修改使其便于计算机实现。

被乘数和乘数均取绝对值参加运算，符号位单独考虑；被乘数取双符号位，部分积的长度同被乘数，初值为0；从乘数的最低位 $Y_n$ 开始判断： 若 $Y_n＝1$，则部分积加上被乘数|X|，然后右移一位； 若 $Y_n＝0$，则部分积加上0，然后右移一位。重复第3步操作n次

3.例题

已知X=0.1101,Y=-0.1011,用原码一位乘计算X * Y=?

解： [X]原=0.1101，[Y]原=1.1011 |X|=00.1101（用双符号位表示），|Y|=0.1011（用单符号位） ，部分积初值：00.0000 - 乘数最低位为 1，所以00.0000(部分积)+00.1101(被乘数) = 00.1101；再向右移一位：00.01101 - 乘数往前数一位为 1 ，00.01101 + 00.1101 = 01.00111；再向右移一位：00.100111 - 乘数往前数一位为 0；不需要加上被乘数了，只需右移一位：00.0100111 - 乘数往前数一位为 1，00.0100111 + 00.1101 = 01.0001111，右移一位：00.10001111 - 符号可按异或运算得到（同号相乘为正，异号相乘为负），这里是异号，所以符号位是 1 - 因此[X*Y]原 = 1.10001111；X*Y = -0.10001111

总共需要 n 次加法和 n 次移位

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4.补码一位乘法

1.运算规则：

符号位参加运算，运算的数均以补码表示；被乘数一般取双符号位参加运算；乘数可取单符号位；乘数末位增设附加位 $Y_n+1$，且初值为0。从低位到高位，依次判断相邻的两位乘数的状态，根据比较结果按下表操作。最后一步不移位，仅根据 $Y_0$ 与 $Y_1$ 的比较结果作相应的运算 $Y_n$ （高位）$Y_{n+1}$ （低位）操作00部分积右移一位01部分积加 $[X{]}_{补}$， 右移一位10部分积加 $[-X{]}_{补}$， 右移一位11部分积右移一位

2.例题：

已知 X=-0.1101,Y=0.1011, 用补码一位乘计算X * Y=?

[X]补=11.0011，[-X]补=00.1101(用双符号表示)， [Y]补=0.10110(用单符号位)， 部分积：00.0000 1. 0.10110(乘数)上 Y4Y5 位上的是 1 0，所以部分积加[-X]补，再右移一位：00.01101 2. 0.10110(乘数)上 Y3Y4 位上的是 1 1，所以部分积右移一位：00.001101 3. 0.10110(乘数)上 Y2Y3 位上的是 0 1，所以部分积加[X]补，再右移一位：11.1011001 4. 0.10110(乘数)上 Y1Y2 位上的是 1 0，所以部分积加[-X]补，再右移一位：00.01000001 5. 0.10110(乘数)上 Y0Y1 位上的是 0 1，所以部分积加[X]补，最后一步不移位：11.01110001 6. 所以[X*Y]补 = 1.01110001，X*Y = -0.10001111

总共需要 n + 1 次加法和 n 次移位

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5.原码一位除法

5.1.恢复余数法

1.运算规则

符号位与数值位分开求，商符由两个数的符号位“异或”形成 $X_s⨁Y_s$

每次商 1，观察余数为正还是为负，为负，商 0，加除数 $[|y|{]}_{补}$ 恢复余数，

计算余数相当于 $[|x|-|y|{]}_{补}=[|x|{]}_{补}+[-|y|{]}_{补}$

然后余数左移一位

2.例题：

已知X=0.1001，Y=0.1101，计算 X / Y = ？

解： [|X|]原 = 0.1001，[|Y|]原 = 0.1101，[-|Y|]补 = 1.0011 设每次的余数位Rn，商数位Q。 1.作X-Y：[|X|]原 + [-|Y|]补 = 1.1110，余数R0为负数，所以上商为0，加[|Y|]补恢复余数，R0=1.1110+0.1101=0.1011， R0左移一位，最终R0 = 1.0110，Q = 0。 2.R0 + [-|Y|]补 = 0.1001，余数为正，上商为1，余数左移一位，最终R1 = 1.0010，Q = 0.1 3.R1 + [-|Y|]补 = 0.0101，余数为正，上商为1， ......

左移 n 次，上商 n + 1 次，最后一次上商不左移。

我们注意到，恢复余数求下一个余数的过程其实就是 (R + Y)*2 - Y = 2R + Y，那么就可以跳过恢复余数的过程，让余数左移一位再加上除数就可以了。

5.2.加减交替法

计算原码一位除法推荐使用不恢复余数法（加减交替法）

1.运算规则：

首先作 X-Y，余数为正，表明产生溢出，应终止除法运算；余数为负，上商为0（作为商的符号位），然后重复下述操作n次，可得商的n位数值。

余数左移一位。余数为正时，减除数；余数为负时，加除数。所得的新余数为正时，上商为1；为负时，上商为0。由于运算中余数共左移了n次，相当于乘 $2^n$， 故最后得余数应乘上 $2^{-n}$才是真正的正确余数。

2.例题：

已知X=0.1001，Y=0.1011，计算 X / Y = ？

解： [|X|]原 = 00.1001，[|Y|]原 = 00.1011，[-|Y|]补 = 11.0101 设每次的余数位Rn，商数位Q。 1.作X-Y：[|X|]原 + [-|Y|]补 = 11.1110，余数R0为负数，所以上商为0，R0左移一位，最终R0 = 11.1100，Q = 0。 2.因为R0为负数，所以余数R0要加上除数Y: R0 + [|Y|]原 = 00.0111，余数为正，上商为1，余数左移一位，最终R1 = 00.1110，Q = 0.1 3.因为R1为正数，所以余数R1要减去除数Y: R1 + [-|Y|]原 = 00.0011，余数为正，上商为1，余数左移一位，最终R2 = 00.0110，Q = 0.11 4.因为R2为正数，所以余数R2要减去除数Y: R2 + [-|Y|]原 = 11.1011，余数为负，上商为0，余数左移一位，最终R3 = 11.0110，Q = 0.110 5.因为R3为负数，所以余数R3要加上除数Y: R3 + [|Y|]原 = 00.0001，余数为正，上商为1，最后一步余数不变，最终R4 = 00.0001，Q = 0.1101 6.所以最后商为 Q = 0.1101，余数 R = 00.0001*2^(-4)

恢复余数法

当余数为负时商 0，并 + |除数|，再左移，再 - |除数|

加减交替法

当余数为负时商 0，并左移，再 + |除数|

6.补码一位除法

1.运算规则：

参加运算的数用补码表示。符号位参加运算，结果为补码。被除数与除数同号，做被除数减除数的运算，被除数与除数异号， 做被除数加除数的运算。如果余数与除数同号， 商1，左移一位， 减除数，如果余数与除数异号， 商0， 左移一位， 加除数。重复上步n次，末位恒置1。

2.例题：

已知X=0.1000, Y=-0.1010,用补码一位除计算X ÷Y=?

解： [X]补 = 00.1000，[Y]补 = 11.0110，[-Y]补 = 00.1010 1.[X]补 [Y]补异号，所以被除数加除数：[X]补 + [Y]补 = 11.1110。 2.余数和除数同号，所以商1，余数再左移一位 = 11.1100，再减除数 = 00.0110 3.新的余数和除数异号，所以商现在是1.0，余数再左移一位 = 00.1100，再加除数 = 00.0010 4.新的余数和除数异号，所以商现在是1.00，余数再左移一位 = 00.0100，再加除数 = 11.1010 5.新的余数和除数同号，所以商现在是1.001，余数再左移一位 = 11.0100，再减除数 = 11.1110 6.末位恒置1，此时商为：1.0011 7.最终：[商]补 = 1.0011，所以商 = -0.1101 除法类型符号位参与运算加减次数移位上商、加减原则说明原码加减交替法否N+1或N+2左移 N 次余数的正负若最终余数为负，需恢复余数补码加减交替法是N+1左移 N 次余数和除数是否同号商末位恒置1

浮点数运算

浮点数表示为 $N=r^E\times M$

阶码 E 反应浮点数的表示范围及小数点的实际位置

尾数 M 的数值部分的位数 n 反映浮点数的精度

规格化浮点数

规格化浮点数的尾数 M 应满足 $1/r\le |M|\le 1$

原码规格化

正数为 0.1****** 的形式，其最大值表示为 0.11…1，最小值表示为 0.10…0

尾数的表示范围为 $1/2\le M\le (1-2^{-n})$

负数为 1.1****** 的形式，其最大值表示为 1.10…0，最小值表示为 1.11…1

尾数的表示范围位 $-(1-2^{-n})\le M\le -1/2$

补码规格化

正数为 0.1****** 的形式，其最大值表示为 0.11…1，最小值表示为 0.10…0

尾数的表示范围为 $1/2\le M\le (1-2^{-n})$

负数为 1.0****** 的形式，其最大值表示为 1.01…1，最小值表示为 1.00…0

尾数的表示范围为 $-1\le M\le -(1/2+2^{-n})$

浮点数加减运算

对阶

小阶向大阶对齐

尾数加减

规格化

舍入

“0” 舍 “1” 入法恒置 “1” 法

判溢出