莫比乌斯函数学习笔记

莫比乌斯环是非常重要的

莫比乌斯函数是数论中重要内容，所以搞懂它很重要！！！

定义

设 $x=\prod _{i=1}^c{p}_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 为质数。

$$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ (-1{)}^c& \prod _{i=1}^c{k}_i=1\\ 0& \underset{i=1}{\overset{c}{\max }}{k}_i>1\end{array}$$

翻译成人话就是说，$\mu (1)=1$，如果 $x$ 中有平方因子，那么 $\mu (x)=0$，否则 $\mu (x)$ 的值由 $x$ 中质因子数量奇偶决定。

这个定义其实很简单，然而莫比乌斯函数最重要的是它特殊的性质，我们来看看他有什么性质。

性质

$\mu$ 是一个积性函数$\mu \ast 1=\epsilon$

证明网上遍地都是，自己搜，懒得写了

莫比乌斯反演

定义

如果我们有 $f=g\ast 1$，那么 $g=f\ast \mu$

证明

$$\begin{array}{rl}f=g\ast 1& \\ f\ast \mu =g\ast \mu \ast & \\ g\ast \epsilon =f\ast \mu & \\ g=f\ast \mu & \\ & \square \end{array}$$

其实莫比乌斯函数和莫比乌斯反演简单的很，就是狄利克雷卷积的一个应用，我们做题时经常会用到 $\mu$ 本身定义和 $\mu \ast 1=\epsilon$ 这个性质。