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Experiment 1 Response of the system and its stability
实验1 系统响应及系统稳定性
实验安全规则（本实验项目安全注意事项） 数字信号处理及DSP应用实验在计算机Matlab上用仿真方式完成，不需要硬件设备，请不要开启计算机桌台上的其它硬件设备；实验可以一人一机单独完成，也可两人一机配合完成，不容许三人一机实验。二、实验指导
1. 实验目的
（1） 掌握求系统响应的方法。
（2） 掌握时域离散系统的时域特性。
（3） 分析、 观察及检验系统的稳定性。
2. 实验原理与方法
在时域中，描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，在频域可以用系统函数描述系统特性。已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。本实验仅在时域求解。在计算机上适合用递推法求差分方程的解，最简单的方法是采用MATLAB语言的工具箱函数filter函数。也可以用MATLAB语言的工具箱函数conv函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积，求出系统的响应。
系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。 重点分析实验系统的稳定性，包括观察系统的暂态响应和稳定响应。
系统的稳定性是指对任意有界的输入信号，系统都能得到有界的系统响应。或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。系统的稳定性由其差分方程的系数决定。
实际中检查系统是否稳定，不可能检查系统对所有有界的输入信号，输出是否都是有界输出，或者检查系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。可行的方法是在系统的输入端加入单位阶跃序列，如果系统的输出趋近一个常数（包括零），就可以断定系统是稳定的。
系统的稳态输出是指当n→∞时，系统的输出。 如果系统稳定，则信号加入系统后， 系统输出的开始一段称为暂态效应，随着n的加大，幅度趋于稳定，达到稳态输出。
注意在以下实验中均假设系统的初始状态为零
3． 实验内容、步骤及过程
（1） 编制程序，包括产生输入信号、单位脉冲响应序列的子程序，用filter函数或conv函数求解系统输出响应的主程序。程序中要有绘制信号波形的功能。
（2） 给定一个低通滤波器的差分方程为
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n－1)+0.9y(n－1)
输入信号 x1(n)=R8(n)
x2(n)=u(n)
① 分别求出x1(n)=R8(n)和x2(n)=u(n)的系统响应y1(n)和y2(n)，并画出其波形。
② 求出系统的单位脉冲响应， 画出其波形。
（3）给定系统的单位脉冲响应为
h1(n)=R10(n)
h2(n)=δ(n)+2.5δ(n－1)+2.5δ(n－2)+δ(n－3)
用线性卷积法求x1(n)=R8(n)分别对系统h1(n)和h2(n)的输出响应y21(n)和y22(n)，并画出波形。
（4） 给定一谐振器的差分方程为
y(n)=1.8237y(n－1)－0.9801y(n－2)+b0x(n)－b0x(n－2)
令b0=1/100.49，谐振器的谐振频率为0.4 rad。
① 用实验方法检查系统是否稳定。输入信号为u(n)时，画出系统输出波形y31(n)。
② 给定输入信号为
x(n)=sin(0.014n)+sin(0.4n)
求出系统的输出响应y32(n)，并画出其波形。
4.实验数据处理及结论
（1）实验结果截图上传学习通课程作业，简述在时域求系统响应的方法。
（2）简述通过实验判断系统稳定性的方法。分析上面第三个实验的稳定输出的波形。
（3）对各实验所得结果进行简单分析和解释，得出合理的结论。
（4）简要回答思考题。
（5）打印程序清单和要求的各信号波形，附在本项内或粘贴在本项。
5.实验思考题
(1) 在分析理想采样序列特性的实验中， 采样频率不同时， 相应理想采样序列的傅里叶变换频谱的数字频率度量是否都相同? 它们所对应的模拟频率是否相同? 为什么?
(2) 在卷积定理验证的实验中， 如果选用不同的频域采样点数M值， 例如， 选M=10和M=20， 分别做序列的傅里叶变换， 求得
所得结果之间有无差异? 为什么?
6.实验收获与建议
在撰写实验报告书结尾时，应阐述自己在本实验项目中的收获、体会及对实验项目或实验室工作的建议等。
三、实验参考
1.实验参考程序
实验1程序：exp1.m
%实验1：系统响应及系统稳定性 %==================================== %内容1：调用filter解差分方程，由系统对u(n)的响应判断稳定性 A=[1, -0.9]; B=[0.05, 0.05]; %系统差分方程系数向量B和A x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1, 50)]; %产生信号x1n=R8n x2n=ones(1, 128); %产生信号x2n=un hn=impz(B, A, 58); %求系统单位脉冲响应h(n) subplot(2, 2, 1),y='h(n)';stem(hn);%调用函数stem绘图 title('(a) 系统单位脉冲响应h(n)') y1n=filter(B, A, x1n); %求系统对x1n的响应y1n subplot(2, 2, 2); y='y1(n)'; stem(y1n); title('(b) 系统对R8(n)的响应y1(n)') y2n=filter(B, A, x2n); %求系统对x2n的响应y2n subplot(2, 2, 4); y='y2(n)'; stem(y2n); title('(c) 系统对u(n)的响应y2(n)') %==================================== %内容2： 调用conv函数计算卷积 x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 ]; %产生信号x1n=R8n h1n=[ones(1, 10) zeros(1, 10)]; h2n=[1 2.5 2.5 1 zeros(1, 10)]; y21n=conv(h1n, x1n); y22n=conv(h2n, x1n); figure(2) subplot(2, 2, 1); y='h1(n)'; stem(h1n);%调用函数stem绘图 title('(d) 系统单位脉冲响应h1(n)') subplot(2, 2, 2); y='y21(n)'; stem(y21n); title('(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)') subplot(2, 2, 3);y='h2(n)';stem(h2n);%调用函数stem绘图 title('(f) 系统单位脉冲响应h2(n)') subplot(2, 2, 4); y='y22(n)'; stem(y22n); title('(g) h2(n)与R8(n)的卷积y22(n)') %===================================== %内容3： 谐振器分析 un=ones(1, 256); %产生信号un n=0:255; xsin=sin(0.014*n)+sin(0.4*n); %产生正弦信号 A=[1, -1.8237, 0.9801]; B=[1/100.49, 0,-1/100.4]; %系统差分方程系数向量B和A y31n=filter(B, A, un); %谐振器对un的响应y31n y32n=filter(B, A, xsin); %谐振器对正弦信号的响应y32n figure(3) subplot(2, 1, 1); y='y31(n)'; stem(y31n) title('(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)') subplot(2, 1, 2); y='y32(n)'; stem(y32n); title('(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)') %=====================================2.实验结果与波形
实验结果与波形如图所示。
3.分析与讨论
（1）综合起来，在时域求系统响应的方法有两种，第一种是通过解差分方程求得系统输出，注意要合理地选择初始条件；第二种是已知系统的单位脉冲响应， 通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出。用计算机求解时最好使用MATLAB语言进行。
（2）实际中要检验系统的稳定性，其方法是在输入端加入单位阶跃序列，观察输出波形，如果波形稳定在一个常数值上，系统稳定， 否则不稳定。上面第三个实验是稳定的。
（3） 谐振器具有对某个频率进行谐振的性质，本实验中的谐振器的谐振频率是0.4 rad,因此稳定波形为sin(0.4n)。
（4）如果输入信号为无限长序列，系统的单位脉冲响应是有限长序列，可用分段线性卷积法求系统的响应，具体方法请参考DFT一章的内容。
如果信号经过低通滤波器，则信号的高频分量被滤掉，时域信号的变化减缓，在有阶跃处附近产生过渡带。因此，当输入矩形序列时，输出序列的开始和终了都产生了明显的过渡带，见第一个实验结果的波形。
