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预备知识IP问题描述梯度下降法计算梯度随机梯度下降 参考文献实验

预备知识

概率分布的变换， $$f_y(y)\partial y=f_x(x)\partial x$$ 或者 $$f_y(y)=f_x(x)\frac{\partial x}{\partial y}\text{\hspace{1em}(1)}$$ 参考证明DL散度，衡量两个分布之间的差异 $$DL(p_1\Vert p_2)=\int p_1(y)\log \left(\frac{p_1(y)}{p_2(y)}\right)dy$$

IP

问题描述

假设神经元的输出方程为： $$y=g(x)$$ 其中 $x$ 为到达该神经元的所有信号的总和，并且服从分布 $x\sim f_x(x)$。 $g(\cdot )$ 为非线性激活函数，如 Sigmoid 函数，单调递增，由(1)式得： $$y\sim f_y(y)=f_x(x)\frac{\partial x}{\partial y}$$

现在，我们希望神经元的输出 $y$ 能够服从某一特定的分布 $f_{exp}$，如 指数分布： $$f_{exp}=\frac{1}{\mu }\exp \left(-\frac{y}{\mu }\right)$$ 高斯分布: $$f_{exp}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{(y-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\right)$$

梯度下降法

将神经元的输出方程改为： $$y=g(ax+b)$$ 通过调整 $a$ 和 $b$ 的值，使得输出 $y$ 的分布服从指定分布

构造损失函数： $$\begin{array}{rl}DL(f_y||f_{exp})& =\int f_y\log \left(\frac{f_y}{f_{exp}}\right)dy\\ & \\ & =E_y[\log (f_y)-\log (f_{exp})]\\ & \\ & =E_y\left[\log (f_x)-\log \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)-\log (f_{exp})\right]\end{array}$$ 通过优化这个损失函数可以使得 $f_y$ 接近 $f_{exp}$

计算梯度

以 $f_{exp}=\frac{1}{\mu }\exp \left(-\frac{y}{\mu }\right)$为例

假设激活函数为 Sigmoid 函数，$g(x)=\frac{1}{1-\exp (-x)}$，则 $$y=g(ax+b)=\frac{1}{1-\exp (-ax-b)}$$ 则 $$\frac{\partial y}{\partial x}=ay(1-y)\text{\hspace{1em}(2)}$$$$\frac{\partial y}{\partial a}=xy(1-y)\text{\hspace{1em}(3)}$$$$\frac{\partial y}{\partial b}=y(1-y)\text{\hspace{1em}(4)}$$

参数 $a$ 的梯度 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial a}DL(f_y||f_{exp})& =\frac{\partial }{\partial a}{E}_y\left[\log (f_x)-\log \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)-\log (f_{exp})\right]\\ & \\ & =E_y\left[0-\frac{\partial }{\partial a}(\log a+\log y+\log (1-y))-\frac{\partial }{\partial a}(-\log \mu -\frac{y}{\mu })\right]\\ & \\ & =-\frac{1}{a}-E_y\left[\frac{1}{y}\frac{\partial y}{\partial a}-\frac{1}{1-y}\frac{\partial y}{\partial a}+\frac{1}{\mu }\frac{\partial y}{\partial a}\right]\\ & \\ & =-\frac{1}{a}-E_y\left[\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{1-y}+\frac{1}{\mu }\right)\frac{\partial y}{\partial a}\right]\\ & \\ & =-\frac{1}{a}-E_y\left[x\left(1-2y+\frac{1}{\mu }y(1-y)\right)\right]\end{array}$$参数 $b$ 的梯度 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial b}DL(f_y||f_{exp})& =\frac{\partial }{\partial b}{E}_y\left[\log (f_x)-\log \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)-\log (f_{exp})\right]\\ & \\ & =E_y\left[0-\frac{\partial }{\partial b}(\log a+\log y+\log (1-y))-\frac{\partial }{\partial b}(-\log \mu -\frac{y}{\mu })\right]\\ & \\ & =-E_y\left[\frac{1}{y}\frac{\partial y}{\partial b}-\frac{1}{1-y}\frac{\partial y}{\partial b}+\frac{1}{\mu }\frac{\partial y}{\partial b}\right]\\ & \\ & =-E_y\left[\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{1-y}+\frac{1}{\mu }\right)\frac{\partial y}{\partial b}\right]\\ & \\ & =-E_y\left[1-2y+\frac{1}{\mu }y(1-y)\right]\end{array}$$

随机梯度下降

上边计算梯度都是基于 y 的期望，实际实现的时候是采用随机梯度下降算法 $$a=a+\Delta a$$$$b=b+\Delta b$$ 其中 $$\begin{array}{rl}\Delta b& =\eta \left[1-(2+\frac{1}{\mu })y-\frac{y^2}{\mu }\right]\\ & \\ \Delta a& =\frac{\eta }{a}+x\eta \left[1-(2+\frac{1}{\mu })y-\frac{y^2}{\mu }\right]\\ & \\ & =\frac{\eta }{a}+x\Delta b\end{array}$$

参考文献

A Gradient Rule for the Plasticity of a Neuron’s Intrinsic ExcitabilityImproving reservoirs using intrinsic plasticity

实验

IP 的价值有待商榷，代码：https://goodgoodstudy.blog.csdn.net/article/details/109226320

如下展示的是使用 IP 前后储备池状态的时空分布，纵坐标代表 100 个神经元，横坐标表示时间：

使用 IP 前 使用 IP 后 IP 规则使得每个神经的输出分布相近