函数

函数图像

这几个函数图像是必须记住的，肯定会考到，我希望你能通过逐个取点来理解这个图像为什么是这样的。

$y=sin(x)与y=cos(x)$

这对函数分别称为正弦函数与余弦函数，它们的最大值均是 1，最小值均是-1。需要进行区分的是：

$y=sin(x)$ 是经过原点（0，0）的，而$y=cos(x)$ 是关于 y 轴对称的。

2. $y=x，y=x^2，y=x^3$

这些是 x 的幂函数，你需要知道 $y=x$夹在 x、y 轴之间，$y=x^2$关于 y 轴对称且处在 x 轴上方，$y=x^3$关于原点对称。 3. $y=e^x，y=ln(x)$

这对函数其实关于$y=x$对称，你可以不用知道为什么，记住它们的图像、经过哪些点就行，它们都是递增。

$y=e^x，或者y=2^x...$ 之类的，都是经过(0,1)这个点的，而且随着 x 增大，函数越来越陡。而$y=ln(x)$或者$y=log(x)$，经过(1，0)这个点，而且随着 x 增大，函数越来越平缓

函数概念

类似于$y=f(x)，x\in D$ 这种，就是函数，y 随 x 的变化而变化。其中 x 是自变量，y 是因变量，D 是定义域。

题目 1： $y=f(x)=ln(x^2-4)+\frac{1}{\sqrt{x^2-2x}}$，求这个函数的定义域

解：对于函数的每个部分，你需要求出各部分的定义域，最后的交集就是整个函数的定义域。

对于函数 $ln(x^2-4)$ ，括号内的数必须大于 0，所以 $x^2-4>0$。而$\frac{1}{\sqrt{x^2-2x}}$ 定义域取决于分母，首先分母不能为 0，而且根号内的数必须大于等于 0，所以最后就是 $x^2-2x>0$，最后得到两组式子： $$\{\begin{array}{l}{x}^2-4>0\\ x^2-2x\end{array}$$ 然后你解出这个 x 的范围就是最后的定义域了。不难吧。

导数

有关极限的题目 90% 到最后都是求导数，所以以下几个关键函数的导数，你必须要记住。这个模块分值占比应该是最高的。对于任意函数 $y=f(x)$，$y^{\prime }$ 就是 $f(x)$ 的导数。

常见函数的导数

$y=x^a$ 则 $y^{\prime }=a{x}^{a-1}$

$y=sinx$ 则 $ y’ = cosx$

$y=cosx$ 则 $ y’ = -sinx$

$y=lnx$ 则 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$

$y=e^x$ 则 $y^{\prime }=e^x$

$y=C(常数)$ 则 $y^{\prime }=0$

函数求导时，如果看见常数，直接把它去掉~

例一：求 $y=\sqrt{x^3}+5211314$ 的导数

解：你看见根号，比如 $\sqrt{f(x)}$ 的形式，可以看成 $(f(x){)}^{\frac{1}{2}}$ ，所以 $y=(x^3{)}^{\frac{1}{2}}+5211314=x^{\frac{3}{2}}+5211314$，然后求这个函数的导数不就特简单吗，$y^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}$

复合函数导数

如果 $y=f(g(x))$，则$y^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))$，你别看这个有点复杂，其实特别简单。

例子： $y=sin(x^3+2x^2+cosx)$，求$y^{\prime }$。

令$g(x)=x^3+2x^2+cosx$，那么$y=sin(g(x))$，然后就套公式吧，内部函数$g(x)$求导后乘出来，外部函数求导后括号内的内容不要动它。

$y^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot cos(g(x))=(3x^2+4x-sinx)\cdot cos(3x^2+4x-sinx)$，慢慢来，会理解的。

如果 $y=f(x)\cdot g(x)$，那么 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$，这个就更好理解了，两个函数依次求导后相加就行。

例子：$y=sin(x^2)\cdot cos(x^3+3x)$，求 $y^{\prime }$

直接套公式吧，心里看到两个函数乘积后的导数，先将它们分开，各自求导，然后代入公式中。

令 $f(x)=sin(x^2)$，$g(x)=cos(x^3+3x)$，则 $f^{\prime }(x)=2x\cdot cos(x^2)$，$g^{\prime }(x)=-(3x^2+3)\cdot sin(x^3+3x)$。

然后代入公式，得到：

$y^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)=2x\cdot cos(x^2)\cdot cos(x^3+3x)-sin(x^2)\cdot (3x^2+3)\cdot sin(x^3+3x)$

别看结果那么复杂，其实你记住公式，慢慢算，慢慢套，分数就到手啦。

如果 $y=\frac{f(x)}{g(x)}$，那么 $y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$，这个稍微有点复杂，但是我相信你能记住的。

例子：$y=\frac{ln(x)}{x^3+e^x+cosx}，求y^{\prime }$

同样，直接套公式吧，令 $f(x)=ln(x)$，$g(x)=x^3+e^x+cosx$，先求出各个函数的导数。

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$，$g^{\prime }(x)=3x^2+e^x-sinx$，然后直接套入公式吧。

$y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}=\frac{\frac{1}{x}\cdot (x^3+e^x+cosx)-ln(x)\cdot (3x^2+e^x-sinx)}{(x^3+e^x+cosx{)}^2}$ ，是不是感觉怎么这么复杂！我故意把函数弄得复杂的。

导数应用

先直接上结论，对于函数 $y=f(x)$：

求函数上某一点 (a，b) 的切线

(1). 二话不说直接先对 f(x) 进行求导，得到导函数 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$，然后将 x = a 代入导函数，得到这一点的切线斜率k

(2). 只要是直线，就满足 $y=kx+b$ 的式子，现在 k 有了，并且 (a, b) 在切线上，直接将 a、b 代入这个式子，求出 b，然后答案就出来了

求函数的增区间、减区间、极值点（极值）

(1). 首先对 f(x) 进行求导，得到 $f^{\prime }(x)$

(2). $f^{\prime }(x)>0$ 时 x 的范围就是增区间，$f^{\prime }(x)<0$ 时 x 的范围就是减区间，$f^{\prime }(x)=0$ 时 x 的值就是极值对应的 x，将 x 代入到 f(x) 可以得到极值，那么这个点就是极值点。

求函数的凹区间、凸区间和驻点

(1). 首先对 f(x) 进行二次求导，得到 $f^{\prime \prime }(x)$

(2). $f^{\prime \prime }(x)>0$ 时 x 的范围就是凹区间，$f^{\prime \prime }(x)<0$ 时 x 的范围就是凸区间，$f^{\prime \prime }(x)=0$ 时 x 的值就是驻点的横坐标，将 x 代入到 f(x) 可以得到驻点的纵坐标，然后驻点就出来了

例题见你的书本。

极限

极限题目一般是求分式函数的极限值，然后80%的题目上下分式的极限值都是 0，另外20%的题目上下分式的极限值都是无穷大。实际上你都可以转化成极限值都是 0 的样式。

例一：求 ${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}$ 的值

可以看到，当 x 趋向于-2 时，上下两式均趋向于 0，所以你代进去也求不出这个结果到底是几。碰到这种情况，直接对上下两式进行求导：

${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}=li{m}_{x\to -2}\frac{2x}{1}=-4$

例二：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{sinx}$

算了，这 4 分就送你吧，这么简单的题目。直接求导，${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{sinx}={\lim }_{x\to 0}\frac{1}{cosx}=1$，实际上当 x 趋向于 0 时，你以后可以直接把 sinx 当成 x 来算。

例三：求 ${\lim }_{x\to \infty }x\cdot sin(\frac{1}{x})$

现在这题与前面一题相比，稍微变化了一下，不过还是一样的。

因为这题 x 是趋向于无穷的，你怎么样能让它趋向于 0 呢？取倒数呀。

令 $y=\frac{1}{x}$，这题直接变成：求 ${\lim }_{y\to 0}\frac{1}{y}\cdot siny={\lim }_{y\to 0}\frac{siny}{y}=1$，哎呀，答案怎么出来了。。就是这么简单

例四：求 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{lnx}{x}$

一样的，上下两式都是趋向于无穷，你直接求导就好了。

${\lim }_{y\to \infty }\frac{lnx}{x}={\lim }_{y\to \infty }\frac{1}{x}=0$

连续

所谓连续，你可以认为就是函数图像始终是连在一起的，不会存在“断档”的情况。

比如对于以下函数：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \text{x < 0}\\ x+1,& \text{x}\ge 0\end{array}$$ 这个函数在 x=0 时出现了断档现象，$x<0$ 时函数值接近 0，而当 $x\ge 0$时，函数值突然从 1 开始递增。所以这个函数并不连续。

又比如以下函数： $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{sinx\cdot tanx}{x^2},& \text{x < 0}\\ a,& \text{x}=0\\ b+e^{\frac{x^4+x^3+x^2}{si{n}^{2}x}}& \text{x}>0\end{array}$$ 若该函数是连续函数，求出 a、b 的值。

解：原谅我出了这么一道看起来要人命的题目。其实你抓住本质就行，函数在 $x=0$ 附近发生了切换，所以这三个函数在 x 趋向于 0 时的极限值都是一个值。所以考连续本质就是考极限，考导数。那就开始吧~

先求函数 $f(x)=\frac{sinx\cdot tanx}{x^2}$ 趋向于 0 的值

${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx\cdot tanx}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{sinx\cdot \frac{sinx}{cosx}}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{si{n}^{2}x}{x^2}\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{1}{cosx}$，慢慢来，这一步主要就是将 $tanx$ 转变成 $\frac{sinx}{cosx}$,

然后可以把分式进行拆分，拆成两个极限，得到最后一步。

然后你可能会选择求导：${\lim }_{x\to 0}\frac{si{n}^{2}x}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{(si{n}^{2}x{)}^{\prime }}{2x}$，然后是不是发现不会做了？哈哈哈，可以记住，对于函数的多次幂的求导，有以下公式：$(f^n(x){)}^{\prime }=n\cdot f^{n-1}(x)\cdot f^{\prime }(x)$，你把 $f(x)=x$ 代入这个公式也是成立的，可以试试。于是${\lim }_{x\to 0}\frac{(si{n}^{2}x{)}^{\prime }}{2x}={\lim }_{x\to 0}\frac{2sinx\cdot cosx}{2x}={\lim }_{x\to 0}\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{1}=1$，是不是感觉还是挺复杂的。

其实你题目做多了会发现，${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{tanx}{x}=1$，可以直接记住的，下次遇到直接套。

于是这一步可以直接这样做：${\lim }_{x\to 0}\frac{si{n}^{2}x}{x^2}\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{1}{cosx}={\lim }_{x\to 0}(\frac{sinx}{x}{)}^2\cdot 1=1$

所以第一个函数在 x 趋向于 0 时的极限值就是 1，那么 a 也就是 1

对于函数 $f(x)=b+e^{\frac{x^4+x^3+x^2}{si{n}^{2}x}}$，看起来挺复杂的，不慌，因为其他都是常量，先算 e 头顶上的函数

${\lim }_{x\to 0}{e}^{\frac{x^4+x^3+x^2}{si{n}^{2}x}}=e^{{\lim }_{x\to 0}\frac{x^4+x^3+x^2}{si{n}^{2}x}}$，所以最后就变成了求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^4+x^3+x^2}{si{n}^{2}x}$

然后你一定要想到：当 x 趋向于 0 时，sinx 可以看做是 x，所以：${\lim }_{x\to 0}\frac{x^4+x^3+x^2}{si{n}^{2}x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x^4+x^3+x^2}{x^2}={\lim }_{x\to 0}(1+x^2+x)=1$，那么回到原式，${\lim }_{x\to 0}(b+e^{\frac{x^4+x^3+x^2}{si{n}^{2}x}})=b+e$

所以$b=1-e$，最后的结果就是：

$a=1;b=1-e$