f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ C n ( z − z 0 ) n , f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}C_n(z - z_0)^n, f(z)=n=0∑∞Cn(z−z0)n, 其 中 C n = 1 n ! f ( n ) ( z 0 ) ， n = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ . 其中C_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0)，n= 0,1,2,···. 其中Cn=n!1f(n)(z0)，n=0,1,2,⋅⋅⋅.
设函数f(z)在区域D内解析，z0为D内一点，R为z0到D的边界上各点的最短距离，则当|z - z0|<R时f(z)可展为幂级数
补充： 如果f(z)在D内有奇点，则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点α之间的距离，即R=|α - z0|
从展开点到孤立奇点的解析环。
（ 1 ） 1 1 − z 在 z = 0 处 的 泰 勒 展 开 ： （1）\frac{1}{1-z}在z=0处的泰勒展开： （1）1−z1在z=0处的泰勒展开： 1 1 − z = 1 + z + z 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + z n + ⋅ ⋅ ⋅ \frac{1}{1-z} = 1 + z + z^2 + ···+z^n+··· 1−z1=1+z+z2+⋅⋅⋅+zn+⋅⋅⋅
更广义地将，只要|z|<1，就存在上式关系。
（ 2 ） e z 在 z = 0 处 的 泰 勒 展 开 ： （2）e^z在z=0处的泰勒展开： （2）ez在z=0处的泰勒展开：
e z = 1 + z 1 ! + z 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + z n n ! + ⋅ ⋅ ⋅ e^z = 1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+···+\frac{z^n}{n!}+··· ez=1+1!z+2!z2+⋅⋅⋅+n!zn+⋅⋅⋅
（ 3 ） s i n z 在 z = 0 处 的 泰 勒 展 开 ： （3）sinz在z=0处的泰勒展开： （3）sinz在z=0处的泰勒展开：
s i n z = 1 − z 3 3 ! + z 5 5 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋅ ⋅ ⋅ sin~z=1-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+···+(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}+··· sin z=1−3!z3+5!z5+⋅⋅⋅+(−1)n(2n+1)!z2n+1+⋅⋅⋅
（ 4 ） c o s z 在 z = 0 处 的 泰 勒 展 开 ： （4）cosz在z=0处的泰勒展开： （4）cosz在z=0处的泰勒展开：
c o s z = 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! + ⋅ ⋅ ⋅ cos~z = 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+···+(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}+··· cos z=1−2!z2+4!z4+⋅⋅⋅+(−1)n(2n)!z2n+⋅⋅⋅
