匈牙利算法——图论（C++）

一、基本概念

1、匹配：在图论中，一个「匹配」是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

2、最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

3、完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。

4、交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

5、增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替 路称为增广路（agumenting path）。

6、匈牙利算法 基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

二、基本模板

时间复杂度是 O(nm)O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数

int n1, n2; // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边 int match[N]; // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个 bool st[N]; // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过 bool find(int x) { for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])//遍历每个男生对应感兴趣的女生 { int j = e[i]; if (!st[j]) { st[j] = true;//暂时分配 if (match[j] == 0 || find(match[j]))//女生未被分配或者看已被分配的男生是和否还有其他选择 { match[j] = x;//确定分配 return true; } } } return false; } // 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点 int res = 0; for (int i = 1; i <= n1; i ++ ) { memset(st, false, sizeof st); if (find(i)) res ++ ; } 作者：yxc 链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/ 来源：AcWing

三、经典例题

AcWing 861. 二分图的最大匹配

给定一个二分图，其中左半部包含n1个点（编号1_{n1），右半部包含n2个点（编号1}n2），二分图共包含m条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式 第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来m行，每行包含两个整数u和v，表示左半部点集中的点u和右半部点集中的点v之间存在一条边。

输出格式 输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围 1≤n1,n2≤500, 1≤u≤n1, 1≤v≤n2, 1≤m≤10⁵ 输入样例：

2 2 4 1 1 1 2 2 1 2 2

输出样例：

2 #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 510, M = 100010; int n1, n2, m;//n1,n2分别是两个点集的点的个数 int h[N], e[M], ne[M], idx;//邻接表写法，存稀疏图 int match[N];//match[j]=a,表示女孩j的现有配对男友是a bool st[N];//st[]数组我称为临时预定数组，st[j]=a表示一轮模拟匹配中，女孩j被男孩a预定了。 void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ; } bool find(int x) { for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) //遍历自己喜欢的女孩 { int j = e[i]; if (!st[j])//如果在这一轮模拟匹配中,这个女孩尚未被预定 { st[j] = true;//那x就预定这个女孩了 if (match[j] == 0 || find(match[j]))//如果女孩j没有男朋友，或者她原来的男朋友能够预定其它喜欢的女孩。配对成功,更新match { match[j] = x; return true; } } } //自己中意的全部都被预定了。配对失败。 return false; } int main() { scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m); memset(h, -1, sizeof h); while (m -- ) { int a, b; scanf("%d%d", &a, &b); add(a, b); } int res = 0;//记录最大匹配 for (int i = 1; i <= n1; i ++ ) { memset(st, false, sizeof st);//因为每次模拟匹配的预定情况都是不一样的所以每轮模拟都要初始化 if (find(i)) res ++ ; } printf("%d\n", res); return 0; }