电路理论基础

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书名作者出版社阅读日期电路理论基础梁贵书、董华英中国电力出版社2020年10月8日

前提

理论类书籍通常都是由浅入深的讲解，从一个最简单的特例作为引子，再引申为更普遍的结论。这篇笔记里不对特例结论进行记载，直接记录普遍结论。

基本概念

电路理论有两个组成部分

电路分析：给定激励求响应电路方法：实现响应搭电路

电的物理量

电流、电压、电荷、磁链、功率、能量

基尔霍夫定律

KCL：节点电流代数和为零

KVL：回路电压代数和为零

图论

回路：每个节点连接2条支路树：连通，包含所有节点，不含回路割集：将图割成两个子图的一组最少支路

稳态电路分析方法

名称简介备注优点缺点2b分析法(n-1)个KCL+(b-n+1)个KVL+b个VAR=2b个方程n:节点数 b:支路数列方程简单，能求出所有节点、支路、元件的各个参数有的时候只需要求解某一路或某几路的参数，计算过于繁琐等效变换法拥有相同VAR关系的等效网络间的变换如电源模型等效变换化简电路，方便求解需要经验和灵感支路分析法(n-1)个KCL+(b-n+1)个KVL结合VAR=b个方程***或***(b-n+1)个KVL+(n-1)个KCL结合VAR=b个方程将2b分析法中的b个VAR结合到了KCL或KVL中方程数比2b少了一半节点分析法(n-1)个节点电压方程${\mathbf{G}}_n{\mathbf{u}}_n={\mathbf{I}}_n$记忆$G_{ii}{G}_{ij}{i}_{sii}$的含义便于计算机编程计算需要一定的记忆量网孔分析法(b-n+1)个网孔电流方程${\mathbf{R}}_n{\mathbf{i}}_n={\mathbf{U}}_n$记忆$R_{ii}{R}_{ij}{u}_{sii}$的含义和节点分析法对应需要一定的记忆量回路分析法(b-n+1)个回路电流方程网孔分析法的推广，记忆$R_{ii}{R}_{ij}{u}_{sii}$的含义能用于非平面电路寻找回路较为抽象改进节点分析法$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{G}}_n& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_n\\ \mathbf{i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_S\\ {\mathbf{U}}_S\end{array}\right]$n+m-1个方程，m为附加电流变量数目记忆${\mathbf{G}}_n\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D}{\mathbf{I}}_S{\mathbf{U}}_S$的含义适用于各种电路记忆量大

常用等效变换

星形网络和三角网络变换$R_{ij}=\frac{R_i{R}_j+R_i{R}_k+R_j{R}_k}{R_k}$ $R_i=\frac{R_{ij}{R}_{ik}}{R_{ij}+R_{ik}+R_{jk}}$

​ 2.电源位移

电路定理

线性电路特性：

叠加：总响应等于各个激励单独作用时的响应之和。不作用的电压源短路，电流源开路。齐性：激励和响应同时放大缩小相同倍数仍成立。戴维南：二段网络等效为电压源串电阻。开路电压、等效电阻与端口u,i的关系式。诺顿：二段网络等效为电流源并电阻。短路电流、等效电阻与端口u,i的关系式。互易：仅含电阻的单一激励电路，激励和响应互换位置仍然成立。三种形式：电流源和短路电流，电压源和开路电压，电压源换短路电流、电流源换开路电压。

也适用于非线性电路定理：

替代：支路上的无耦合元件可以用等于该支路电压/电流的电压源/电流源替代。特勒根：第一定理本质是能量守恒，提供功率和等于消耗功率和，电路的支路电压和支路电流的乘积代数和为零。第二定理比较有意思。两个拓扑结构一样的电路,一个电路的支路电压（电流）和另一个电路对应支路的电流（电压）乘积代数和也为零。对偶：对偶元素全部互换仍成立。

双口网络

双口网络常用类型

开路电阻

$$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}_{11}& R_{12}\\ R_{21}& R_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right]$$ $R_{ii}=\frac{u_i}{i_i}{|}_{i_j=0}$ $R_{ij}=\frac{u_i}{i_j}{|}_{i_i=0}$

短路电导

$$\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$$ $G_{ii}=\frac{i_i}{u_i}{|}_{u_j=0}$ $G_{ij}=\frac{i_i}{u_j}{|}_{u_i=0}$

传输 $$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_2\\ -i_2\end{array}\right]=\mathbf{T}\left[\begin{array}{c}{u}_2\\ -i_2\end{array}\right]$$

$A=\frac{u_1}{u_2}{|}_{i_2=0}$ $B=\frac{u_1}{-i_2}{|}_{u_2=0}$ $C=\frac{i_1}{u_2}{|}_{i_2=0}$ $D=\frac{i_1}{-i_2}{|}_{u_2=0}$

混合

$$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{11}& h_{12}\\ h_{21}& h_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ u_2\end{array}\right]=\mathbf{H}\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ u_2\end{array}\right]$$

$h_{11}=\frac{u_1}{i_1}{|}_{u_2=0}$ $h_{12}=\frac{u_1}{u_2}{|}_{i_1=0}$ $h_{21}=\frac{i_2}{i_1}{|}_{u_2=0}$ $h_{22}=\frac{i_2}{u_2}{|}_{i_1=0}$

$$\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{11}^{\prime }& h_{12}^{\prime }\\ h_{21}^{\prime }& h_{22}^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_2\end{array}\right]={\mathbf{H}}^{\prime }\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ i_2\end{array}\right]$$

${\mathbf{H}}^{\prime }={\mathbf{H}}^{-1}$

双口网络参数矩阵互换表

双口网络连接

级联：1输出接2输入。采用传输参数分析，$\mathbf{T}={\mathbf{T}}_1{\mathbf{T}}_2\cdots {\mathbf{T}}_n$ 、串联：输入输出分别串接。$\mathbf{R}={\mathbf{R}}_1+{\mathbf{R}}_2+\cdots +{\mathbf{R}}_n$并联：输入输出分别并联。$\mathbf{G}={\mathbf{G}}_1+{\mathbf{G}}_2+\cdots +{\mathbf{G}}_n$

运放端口特性

$u_o=A(u_{+}-u_{-})$

运放基本应用不在本书总结，会在其他随笔中做总结

回转器

$$\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -r\\ r& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right]$$

可以将一个端口的电流（电压）转为另一个端口的电压（电流），可以将一个端口的电容（电感）转为另一个端口的电感（电容）

动态线性电路分析

n阶电路输入输出方程（n为电路中独立储能源元件数目）： $$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f_s(t)$$

换路：电源的接通和切断，电路参数的突然变化，电路结构的改变。

换路定则：电容电流（电感电压）为有限值时，电容上的电荷和电压（电感上的电流和磁链）不能跃变。

初始响应求解步骤：

根据换路前稳态电路求出$u_C(0_{-})\text{和}{i}_L(0_{-})$根据换路定则和$t=0^{+}$时刻电路响应

全响应

自由响应：在有损电路中也叫暂态响应

强迫响应：输入为常数或周期函数时也叫稳态响应

过渡过程求解步骤：

求初始响应求强破响应（特技）求自由响应（通解），需要使用常微分方程相关知识全响应=强迫响应+自由响应

三要素法：对应一般一阶电路，求得初始值、稳态值和时间常数可以直接得出全响应方程 $$y(t)=y_p(t)+[y(t_{0+})-y_p(t_{0+})]e^{-\frac{t-t_{0+}}{\tau }}(t⩾t_{0+})$$ 全响应也可以表示为：全响应=零输入响应+零状态响应

特殊零状态响应

阶跃函数$\epsilon (t)$：用来表征电路中的开关动作

冲激函数$\delta (t)$：筛选函数瞬间值,冲激响应可以使电容电压和电感电流跃变

冲激响应为阶跃响应的导数

卷积

$u_s(t)\otimes h(t)={\int }_{0_{-}}^t{u}_s(\tau )h(t-\tau )d\tau$

卷积满足交换律

状态方程

$\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u}$ $\mathbf{y}$为输出向量，对于$n$个状态变量，$m$个输入，$l$个输出的电路。$\mathbf{C}$为$l\times n$的矩阵，$\mathbf{D}$为$l\times m$的矩阵。

直观法列写多阶线性时不变电路状态方程的步骤：

选取独立电容电压和独立电感电流为状态量对每个独立电容，选用一个节点或割集；对每个独立电感，选用一个回路将方程中输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示

正弦稳态电路分析

相量：描述了正弦量三要素中的振幅和初相，不包含频率信息

相量运算特性：唯一性，线性，微分$ph[\frac{d^{n}i(t)}{d{t}^n}]=(j\omega {)}^n\dot{\mathbf{I}}$，积分$ph[\int \cdots \int i(t)dt\cdots dt]=\frac{1}{(j\omega {)}^n}\dot{\mathbf{I}}$

平均功率$P=UI\cos \theta$ $\theta ={\phi }_u-{\phi }_i$ 无功功率$Q=UI\sin \theta$

视在功率$S=UI$ 功率因数$\cos \theta$ 复功率$\tilde{S}=P+jQ=S\angle \theta$

相量分析法：使用几何知识求解电路正弦网络函数

正弦网络函数：$A_u(j\omega )$、$A_i(j\omega )$、$Y_T(j\omega )$、$Z_T(j\omega )$

频率特性曲线：幅频特性曲线、相频特性曲线

通频带BW：幅值大于最大值$\frac{1}{\sqrt{2}}$的部分的频率范围,截止频率（转折频率）${\omega }_c$

谐振与互感

谐振内容见电磁学相关内容

互感：电流从同名端流入，互感为正。耦合系数$k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}$

互感电路分析：

互感消除：仅有二端和三端耦合电感的电路回路分析反映阻抗法：适用于变压器

三相电路

三组频率相同，相位差120°的交流系统

Y接法：${\mathbf{I}}_l={\mathbf{I}}_{ph}$ ${\mathbf{U}}_l=\sqrt{3}{\mathbf{U}}_{ph}\angle 30^{\circ }$

$△$接法：${\mathbf{U}}_l={\mathbf{U}}_{ph}$ KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 41: …ldsymbol I_{ph}\̲a̲n̲g̲-30^\circ

非正弦周期信号分析

傅里叶展开：$f(t)=A_0+{\sum }_{k=1}^{\infty }{A}_{km}\sin (k\omega t+{\theta }_k)$ A₀为直流分量

谐波分析法：通过傅里叶展开后再由叠加原理叠加

周期性非正弦三相电中的6k+1次谐波组成正序，6k+5组成负序，6k+3组成零序，偶数次谐波都为0

非线性电路分析

PN结二极管低频下可以视为非线性电阻 $i=I_S(e^{u/U_T}-1)$

N形负阻、S形负阻

静态电阻和动态电阻(电阻变化率)

DP图图解法：将两个或多个非线性元件特性曲线进行叠加

静态工作点：DP图的交点

小信号分析法：在静态工作点附近使用泰勒级数展开，省略二次项。 $$\{\begin{array}{l}△i(t)+△i_R(t)=0\\ △u(t)-△u_R(t)=0\\ △u(t)=R△i(t)+u_s(t)\\ △u_R(t)=R_{dQ}△i_R(t)\end{array}$$ 小信号电路于原电路有相同结构，差别在于把直流电源置零，非线性电阻用直流工作点处动态电阻代替

分段线性法：将特性曲线分段，每段都为线性特征，分别求解，可以使用动态路径法

线性动态电路复频域分析

主要思想是把时域的积分微分方程转化为s域的代数方程，方便运算，再将运算结果反变换还原为时域方程

拉氏变换的性质：

唯一性

线性

时域微分性质：$\mathcal{L}[\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0_{-})-s^{n-2}{f}^{\prime }(0_{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0_{-})$

时域积分性质：$\mathcal{L}[{\int }_{0_{-}}^{t}f(\tau )d\tau ]=\frac{F(s)}{s}$

时域位移性质：时域位移后，象函数多一项因子$e^{-s{t}_0}$

频域位移性质：$\mathcal{L}[f(t)e^{-at}]=F(s+a)$

卷积定理：$\mathcal{L}[u_s(t)\otimes h(t)]=U_s(s)\cdot H(s)$

时域经过拉式变换后，会将象函数化简为常用函数的象函数中的有的象函数形式，其中，让分母为零的点为极点，分子为零的点为零点。

运算电路：将时域模型替换为s域模型

复频域的网络函数中，极点为电路固有频率，零点为输出为零的点。

电路代数方程矩阵形式

基本概念：

关联矩阵：节点电流写出来的矩阵${\mathbf{A}}_a$

基本回路矩阵：回路电压写出来的矩阵${\mathbf{B}}_f$

基本割集矩阵：割集包含支路写出来的矩阵${\mathbf{Q}}_f$

${\mathbf{A}\mathbf{B}}_f^T=0{\mathbf{Q}}_f{\mathbf{B}}_f^T=0$

$\mathbf{A}=[{\mathbf{A}}_l{\mathbf{A}}_t],\mathbf{B}=[1_l{\mathbf{B}}_t],{\mathbf{Q}}_f=[{\mathbf{Q}}_l{1}_t]$

支路方程： $$\begin{gathered} {\dot{\mathbf{I}}}_b={\mathbf{Y}}_b{\dot{\mathbf{U}}}_b+{\mathbf{Y}}_b{\dot{\mathbf{U}}}_s-{\dot{\mathbf{I}}}_s \\ {\dot{\mathbf{U}}}_b={\mathbf{Z}}_b{\dot{\mathbf{I}}}_b+{\mathbf{Z}}_b{\dot{\mathbf{I}}}_s-{\dot{\mathbf{U}}}_s \\ \mathbf{M}{\dot{\mathbf{I}}}_b+\mathbf{N}{\dot{\mathbf{U}}}_b={\dot{\mathbf{U}}}_s+{\dot{\mathbf{I}}}_s \end{gathered}$$

分析方法：

节点电压： $$\begin{gathered} {\mathbf{Y}}_n=\mathbf{A}{\mathbf{Y}}_b{\mathbf{A}}^T \\ {\dot{\mathbf{J}}}_n=\mathbf{A}{\dot{\mathbf{I}}}_s-\mathbf{A}{\mathbf{Y}}_b{\dot{\mathbf{U}}}_s \\ {\mathbf{Y}}_n{\dot{\mathbf{U}}}_n={\dot{\mathbf{J}}}_n \end{gathered}$$

回路电流： $$\begin{gathered} {\mathbf{Z}}_l={\mathbf{B}}_f{\mathbf{Z}}_b{\mathbf{B}}_f^T \\ {\dot{\mathbf{U}}}_l={\mathbf{B}}_f{\dot{\mathbf{U}}}_s-{\mathbf{B}}_f{\mathbf{Z}}_b{\dot{\mathbf{I}}}_s \\ {\mathbf{Z}}_l{\dot{\mathbf{I}}}_l={\dot{\mathbf{U}}}_l \end{gathered}$$

割集电压：

$$\begin{gathered} {\mathbf{Y}}_t={\mathbf{Q}}_f{\mathbf{Y}}_b{\mathbf{Q}}_f^T \\ {\dot{J}}_t={\mathbf{Q}}_f{\dot{I}}_s-{\mathbf{Q}}_f{\mathbf{Y}}_b{\dot{U}}_s \\ {\mathbf{Y}}_t{\dot{U}}_t={\dot{J}}_t \end{gathered}$$

稀疏表格法：2b+n个变量的矩阵

$$\begin{gathered} \text{KCL:}{\mathbf{A}\dot{\mathbf{I}}}_b=0 \\ \text{KVL:}{\dot{\mathbf{U}}}_b-{{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\dot{\mathbf{U}}}_n=0 \\ \mathbf{M}{\dot{\mathbf{I}}}_b+\mathbf{N}{\dot{\mathbf{U}}}_b={\dot{\mathbf{U}}}_s+{\dot{\mathbf{I}}}_s \end{gathered}$$

​ 合并为: $$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{A}& 0& 0\\ 0& 1& -{\mathbf{A}}^T\\ \mathbf{M}& \mathbf{N}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{I}}}_b\\ {\dot{\mathbf{U}}}_b\\ {\dot{\mathbf{U}}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\mathbf{F}}_s\end{array}\right]$$

分布参数电流

电报方程： $$\begin{gathered} -\frac{\partial u}{\partial x}=R_{0}i+L_0\frac{\partial i}{\partial t} \\ -\frac{\partial i}{\partial x}=G_{0}u+C_0\frac{\partial u}{\partial t} \end{gathered}$$ 频域形式： $$\begin{gathered} -\frac{\mathrm{d}\dot{U}}{\mathrm{d}x}=(R_0+j\omega L_0)\dot{I}=Z_0\dot{I} \\ -\frac{\mathrm{d}\dot{I}}{\mathrm{d}x}=(G_0+j\omega C_0)\dot{U}=Y_0\dot{U} \\ \gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{Z_0{Y}_0}=\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)} \\ {Z}_c=\sqrt{\frac{Z_0}{Y_0}}=\sqrt{\frac{(R_0+j\omega L_0)}{(G_0+j\omega C_0)}} \end{gathered}$$

通解： $$\begin{gathered} \dot{U}=A_1{e}^{-\gamma x}+B_1{e}^{\gamma x} \\ \dot{I}=\frac{A_1}{Z_C}{e}^{-\gamma x}-\frac{B_1}{Z_C}{e}^{\gamma x} \end{gathered}$$ 传输矩阵： $$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}\cosh \gamma l& Z_c\sinh \gamma l\\ Y_c\sinh \gamma l& \cosh \gamma l\end{array}\right]$$ 波的反射：

电报方程的频域通解形式中的两项分别是入射波分量和反射波分量

反射系数：$N=\frac{Z_2-Z_C}{Z_2+Z_C}{e}^{-2\gamma x\prime }$ Z₂为终端阻抗，Z_c为传输线特性阻抗，x’为点到终端的距离，γ为传播常数

输入阻抗与反射系数的关系：$N=\frac{Z-Z_c}{Z+Z_c}$ Z为输入阻抗

无畸变线

$\frac{L_0}{R_0}=\frac{C_0}{G_0}\gamma =\sqrt{R_0{G}_0}+j\omega \sqrt{L_0{C}_0}{Z}_c=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}$

无损耗线

是无畸变线的特例

$R_0=0G_0=0\gamma =j\omega \sqrt{L_0{C}_0}{Z}_C=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}$

驻波：波腹、波节位置固定

有限长无损线：可以作为储能元件，可以作为阻抗变换器

高频传输线可以当作无损耗线

无损号线的反射：柏德生法则，将反射瞬间电路等效为集中参数电路

无损号线的折射：略