[crypto]-RSA算法的介绍

说明：本文使用的数据来自网络，重复的太多了，也不知道哪篇是原创.

算法原理介绍

step说明描述备注1找出质数P 、Q-2计算公共模数N = P * Q-3欧拉函数φ(N) = (P-1)(Q-1)-4计算公钥E1 < E < φ(N)E的取值必须是整数E 和 φ(N) 必须是互质数5计算私钥DE * D % φ(N) = 1-6加密C ＝ M^E mod NC：密文 M：明文7解密M ＝C^D mod NC：密文 M：明文

算法举例

随机选择两个不相等的质数 : p=61、q=53计算 n = p × q = 61×53 = 3233计算n的欧拉函数 : φ(n) = (p-1)(q-1) = 3120随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质, 我们选择一个 e=17计算e对于φ(n)的模反元素d ： d*e%φ(n)=1

支持 n e d都算出来了，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）

公钥能否推导出私钥，也就是n和e的情况下，推导出d

（1）ed%φ(n)=1, 推导d, 需要知道e和φ(n)（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。计算φ(n), 需要知道p和q（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q.

私钥能否推导出公钥，也就是n和d的情况下，推导出e

（1）ed%φ(n)=1, 推导e, 需要知道d和φ(n)（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。计算φ(n), 需要知道p和q（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q.

对于3233您可以进行因数分解（3233=61×53），那么对于下面一个这样很大的数字呢？

12301866845301177551304949 　　58384962720772853569595334 　　79219732245215172640050726 　　36575187452021997864693899 　　56474942774063845925192557 　　32630345373154826850791702 　　61221429134616704292143116 　　02221240479274737794080665 　　351419597459856902143413

它等价于：

33478071698956898786044169 　　84821269081770479498371376 　　85689124313889828837938780 　　02287614711652531743087737 　　814467999489 　　　　× 　　36746043666799590428244633 　　79962795263227915816434308 　　76426760322838157396665112 　　79233373417143396810270092 　　798736308917

公钥(e,n)对明文m进行加密 ： c = m^e % n 私钥(d,n)对密文c进行解密 ： m = c^d % n

其中e和d是对等的，一样的地位，可以互换的. 所以，公钥推出私钥比较困难，那么私钥推出公钥也是比较困难. 另外，在密码学中，我们一般不说通过公钥并不是完全不能推算出私钥， 而是表述为：通过公钥推算私钥在计算上是困难的。

那么为什么我们在平时使用时，感觉的是公钥不能推导私钥，但私钥可以推导公钥呢？ 因为在PEM或DER的编码格式中，公钥包含了N和E，私钥包含了N E D P Q等信息，也就是私钥已经包含了公钥，故私钥是能推出公钥的。 另外在通常使用中，e一般就等于65535，所以无需推导.