Kruskal（克鲁斯卡尔）——图论（C++）

一、基本思想

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。

把图中的所有边按代价从小到大排序；把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,viui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。 图片来自a2392008643

prim算法适合稠密图，kruskal算法适合简单图。

二、基本模板

时间复杂度是 O(mlogm)O(mlogm), nn 表示点数，mm 表示边数

、int n, m; // n是点数，m是边数 int p[N]; // 并查集的父节点数组 struct Edge // 存储边 { int a, b, w; bool operator< (const Edge &W)const { return w < W.w; } }edges[M]; int find(int x) // 并查集核心操作 { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int kruskal() { sort(edges, edges + m); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集 int res = 0, cnt = 0; for (int i = 0; i < m; i ++ ) { int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w; a = find(a), b = find(b); if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并 { p[a] = b; res += w; cnt ++ ; } } if (cnt < n - 1) return INF; return res; } 作者：yxc 链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/ 来源：AcWing

三、经典例题

AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树 给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式 第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式 共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围 1≤n≤105, 1≤m≤2∗10⁵, 图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。

输入样例：

4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4

输出样例：

6 #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f; int n, m; int p[N];//祖宗节点 struct Edge { int a, b, w; bool operator< (const Edge &W)const { return w < W.w; } }edges[M]; int find(int x)//并查集核心 { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int kruskal() { sort(edges, edges + m); //先排序，然后是并查集的常规合并 for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集 int res = 0, cnt = 0;//res 最小生成树中的权重之和 //cnt 当前加了多少条边 for (int i = 0; i < m; i ++ )// 从小到大枚举每条边，边连上，长度加上，计数+1 { int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w; a = find(a), b = find(b); if (a != b) { p[a] = b; res += w; cnt ++ ; } } if (cnt < n - 1) return INF;// 连通图的边数 = 点数 - 1 return res; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 0; i < m; i ++ ) { int a, b, w; scanf("%d%d%d", &a, &b, &w); edges[i] = {a, b, w}; } int t = kruskal(); if (t == INF) puts("impossible"); else printf("%d\n", t); return 0; }