Prim——图论（C++）

一、最小生成树

对于一个带权连通无向图G=（V，E），生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同，设r为G的所有生成树的集合，若T为r中边的权值之和最小的那棵生成树，则T称为G的最小生成树。

二、最小生成树的性质

1、最小生成树不是唯一的。 2、最小生成树的边的权值之和总是唯一的 3、最小生成树的边数为顶点数减1，即边数=n-1（n为顶点数）

三、 Prim算法的基本思想

每个顶点初始化为正无穷，每次选择一个到集合距离最小的点加入集合，更新n次

dist[i]距离设置为无穷大 dist[1]=0

for i in 0…n-1

1、找到不在s集合中，距离s集合最近的点t 2、将这个点t放入集合中 3、利用这个点t， 更新不在集合中的点

四、Prim算法与Dijkstra算法的区别

Dijkstra算法是更新不在集合中的点 离起点的距离

dist[j]=min(dist[j], dist[t]+g[t][j])

Prim是更新不在集合中的点 离集合S的距离

dist[j] = min(dist[j], g[t][j])

五、 最小生成树的过程

六、基本模板

时间复杂度是 O(n2+m)O(n2+m), nn 表示点数，mm 表示边数

int n; // n表示点数 int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边 int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离 bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中 // 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和 int prim() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); int res = 0; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { int t = -1; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j; if (i && dist[t] == INF) return INF; if (i) res += dist[t]; st[t] = true; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); } return res; } 作者：yxc 链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/ 来源：AcWing

七、经典例题

AcWing 858. Prim算法求最小生成树 给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式 第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式 共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围 1≤n≤500, 1≤m≤10⁵, 图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。

输入样例：

4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4

输出样例：

6 #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f; int n, m; int g[N][N]; int dist[N];//dist存储其他点到S的距离 bool st[N]; int prim() {//如果图不连通返回正无穷, 否则返回res memset(dist, 0x3f, sizeof dist); int res = 0; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { int t = -1; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//找出不在集合中离集合最近的点 t = j; //寻找离集合S最近的点 if (i && dist[t] == INF) return INF; //判断是否连通，有无最小生成树 if (i) res += dist[t]; st[t] = true; //更新最新S的权值和 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);//更新所连点到集合的最短距离 } return res; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); memset(g, 0x3f, sizeof g); while (m -- ) { int a, b, c; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); } int t = prim(); //临时存储防止执行两次函数导致最后仅返回0 if (t == INF) puts("impossible"); else printf("%d\n", t); return 0; }