随机信号分析基础——例题篇（例题2.1）

书籍参考：随机信号分析基础——王永德、王军（第五版）

上面就是例题以及题目所求的自相关函数了。题目要求很简单，但是仅此而已吗？ 自相关函数是二维函数，由自相关函数公式，我们知道它包含直流分量、交流分量。从信号的特征来讲，它包含快慢的信息不包含强度。

1、从上面求出的$R_x$自相关函数是否是有意义的？如何判断？ 求出的$R_x$是否有意义，必须建立在你的样本数m，以及选择采样时间的间隔选择$\tau$是否有效？

2、m的有效性如何判断呢？ 我们知道期望$m_x(t)=E[(X(t)]$是所有的样本在时间t的统计平均，是直流成分。 那么无论是哪一个时刻，一个电功率电路它的直流成分应该是相等的、保持不变的。

两者相等，我们可以下一个结论：样本数m=4经过初步检验有效。 这个说明m在这一步检验有效。能高枕无忧了吗？

m在直流有效，能说整体有效吗？别忘了电路系统里面还有交流成分。

3、一维里面有三个特征函数，期望、均方值、方差（概念遗忘的可以参考我之前的文章）。期望是直流成分、均方值既包括直流又包括交流，它是功率。那么检验交流成分只剩下方差，而方差恰好剔除了直流成分只剩下交流成分。

两个时刻的方差不相等，说明交流功率不相等。如果是同一个信号，在足够的样本下统计平均它的交流信号应该相等。 不相等是什么原因？说明你观测的样本数不够，至此我们可以下结论了：m=4无效，样本数不够。

改进方法：增大样本数m，最好让m越多越好，那么m的范围就是趋于无穷大。

4、二维有两个函数，一个自相关，一个协方差函数$C_X(t1,t2)$ 由定义式可知：它剔除了直流成分，既包含强度，又包含快慢。 它只代表交流成分。

$C_X(t1,t2)$只代表交流成分，竟然小于0，这说明了什么？ 说明$R_x$小了，回顾$R_x$，它的由来是描述两个相邻时刻的相关性，它越大代表相关性越强。

$R_x$小了说明$t_1，t_2$之间的相关性弱，说明两个之间间隔大了，从而说明采样间隔$\tau$选大了。说明这两个时刻选择是无效的。

也间接说明了$t_n$无效，那么就是n无效。 改进：减小$\tau$，使得$\tau$趋向于0，从而这个t_2就趋向于无穷了。

5、附： 方差可以由上面之间求，也可以通过均方值来间接求，而且间接求更加简单。

通过均方值减去期望的平方就是方差。