【模式识别】期望最大化算法（EM算法）

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引言EM算法EM算法流程：算法解释 总结

引言

概率模型的参数估计方法（包括最大似然估计、最大后验概率估计以及贝叶斯估计）适用于概率模型中的变量均为观测变量的情况。当模型中含有隐变量时（例如：样本点的某些特征丢失或隐变量不可观测的情况下），这些方法便失去作用。**EM算法就是解决含有隐变量的概率模型参数的最大似然估计法。**EM算法的核心就是根据已有的数据递归估计似然函数。

EM算法

EM算法流程：

输入：观测变量数据Y，隐变量数据Z，联合分布P（Y，Z|θ），条件分布P（Z|Y，θ）；

输出：模型参数θ

(1)选择参数初值**${\theta }^{(0)}$**,开始迭代：

(2)E步：记${\theta }^{(i)}$为第i次迭代参数θ的估计值，在i+1次的迭代E步计算： $$Q(\theta ,{\theta }^{(i)})=E_Z[logP(Y,Z|\theta )|Y,{\theta }^{(i)}]=\sum _{Z}logP(Y,Z|\theta )P(Z|Y,{\theta }^{(i)})$$ 其中$P(Z|Y,{\theta }^{(i)})$是在给定观测数据Y和当前参数估计${\theta }^{(i)}$下隐变量数据Z的条件概率分布；

(3)M步：求使$Q(\theta ,{\theta }^{(i)})$极大化的θ，确定第i+1次迭代的参数估计值${\theta }^{(i+1)}$ $${\theta }^{(i+1)}=\arg \underset{\theta }{\max }Q(\theta ,{\theta }^{(i)})$$ (4)重复2，3步直至收敛。

算法解释

函数$Q(\theta ,{\theta }^{(i)})$，称为Q函数，是EM算法的核心公式。它是一个条件期望函数，表示的是：

在给定观测数据Y和当前参数${\theta }^{(i)}$的未观测数据Z的条件概率分布$P(Z|Y,{\theta }^{(i)})$的条件下，完全数据的对数似然函数$logP(Y,Z|\theta )$的条件期望

另外，EM算法对第一步的参数初值选择敏感。

总结

EM算法实际上是从为了使观测数据的似然函数log P(Y|θ)极大化这一目的出发推导出来的一个迭代算法。在构建具体的EM算法时，重要的是定义Q函数。每次迭代，EM算法都通过极大化Q函数来增大对数似然函数log P(Y|θ)。也就是说，似然函数会随着Q函数的增大而增大。

一般条件下EM算法是收敛的，但不能保证收敛到全局最优，即它是一个局部最优算法。