高等代数 具有度量的线性空间(第10章)1* 双线性函数

一.双线性函数(10.1) 1.概念 (1)定义: (2)示例: 2.双线性函数的表达式 (1)度量矩阵的概念: (2)双线性型: (3)不同基下的度量矩阵间的关系:

①已知2个度量矩阵,求其关系: 定理1:设$f$是域$F$上$n$维线性空间$V$上的1个双线性函数,$V$中取2个基${\alpha }_1...{\alpha }_n$与${\beta }_1...{\beta }_n$,设$$({\beta }_1...{\beta }_n)=({\alpha }_1...{\alpha }_n)P(6)$$$f$在基${\alpha }_1...{\alpha }_n$和基${\beta }_1...{\beta }_n$下的度量矩阵分别为$A,B$,则$$B=P^{\prime }AP(7)$$ 注:2种证明均可

②已知2个合同的矩阵,求其关系: 定理1’:如果$A\simeq B$,则$A,B$可看成是$V$上同1个双线性函数$f$在$V$的不同基下的度量矩阵

*(4)双线性函数的矩阵秩: 二.特殊的双线性函数(10.1) 1.非退化的双线性函数 (1)双线性函数的左/右根: (2)非退化的双线性函数:

定理2:域$F$上的$n$维线性空间$V$上的双线性函数$f$是非退化的,当且仅当$f$在$V$的1个基下的度量矩阵是满秩矩阵

2.(斜)对称双线性函数 (1)定义: (2)充要条件:

设$f$是域$F$上的$n$维线性空间$V$上的1个双线性函数,$f$在$V$的1个基${\alpha }_1...{\alpha }_n$下的度量矩阵为$A$,则$$\begin{gathered} f是对称的 \\ \iff f({\alpha }_i,{\alpha }_j)=f({\alpha }_j,{\alpha }_i)i,j=1,2...n \\ \iff A(i;j)=A(j;i)i,j=1,2...n \\ \iff A是对称矩阵 \end{gathered}$$类似地,有$$\begin{gathered} f是斜对称的 \\ \iff f({\alpha }_i,{\alpha }_j)=-f({\alpha }_j,{\alpha }_i)i,j=1,2...n \\ \iff A(i;j)=-A(j;i)i,j=1,2...n \\ \iff A是斜对称矩阵 \end{gathered}$$

(3)(斜)对称双线性函数的度量矩阵的最简单的形式:

定理3:设$f$是特征不为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数,则$V$中$\exists 1$个基,使得$f$在此基下的度量矩阵为对角矩阵 推论1:特征不为$2$的域$F$上的$n$阶对称矩阵$A$一定合同于1个对角矩阵,这个对角矩阵称为$A$的1个合同标准型

定理4:设$f$是特征不为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的斜对称双线性函数,则$\exists V$的$1$个基,记成${\delta }_1,{\delta }_{-1}...{\delta }_r,{\delta }_{-r},{\eta }_1...{\eta }_s(0\le r\le \frac{n}{2},s=n-2r)$,使得$f$在此基下的度量矩阵具有如下形式:$$diag\{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]...\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right],0...0\}(16)$$ 推论1:特征不为$2$的域$F$上的$n$阶斜对称矩阵$A$一定合同于1个形如下式的分块对角矩阵:$$\left[\begin{array}{cccccc}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]& & & & & \\ & ...& & & & \\ & & \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]& & & \\ & & & 0& & \\ & & & & ...& \\ & & & & & 0\end{array}\right]$$

注:特征为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数的度量矩阵的最简单的形式见附录

三.对称双线性函数与二次型的关系(10.1)

四.双线性函数空间(10.1)

附录.特征为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数的度量矩阵的最简单的形式