\qquad 和参数估计比较，假设检验是另一类重要的统计推断问题。为了解总体的某些性质，首先做出某种假设，然后根据样本去检验这种假设是否合理，经检验后若假设合理就接受这个假设，否则就拒绝这个假设。
仅供参考
\qquad 某砖厂生产的砖的抗断强度X(10’Pa)服从正态分布，设方差 σ 2 = 1.21 \sigma^2=1.21 σ2=1.21，从产品中随机地抽取6块，测得抗断强度值为 32.66 , 29.86 , 31.74 , 30.15 , 32.88 , 31.05 32.66, 29. 86, 31. 74,30. 15,32. 88,31. 05 32.66,29.86,31.74,30.15,32.88,31.05试检验这批砖的平均抗断强度是否为 32.50 × 1 0 5 P a ? ( α = 0.05 ) 32.50\times 10^5Pa? (\alpha= 0. 05) 32.50×105Pa?(α=0.05)
假设检验类问题做法步骤： 1）根据问题给出原假设以及备择假设（对立假设） 2）选择合适的检验统计量 3）确定拒绝域 4）求值 5）判断小概率事件是否发生。根据小概率原理，若小概率事件在一次试验中发生，就认为原假设 H 0 H_0 H0不合理，就拒绝 H 0 H_0 H0 ( 接受 H 1 H_1 H1)。若小概率事件未发生，就认为原假设 H 0 H_0 H0合理，接受 H 0 H_0 H0
方差 σ 2 \sigma^2 σ2 已知，检验 μ \mu μ 统计量为： U = X ˉ − μ o σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) U = \cfrac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N (0,1) U=σ/n Xˉ−μo∼N(0,1)拒绝域： ( − ∞ , − z α 2 ) , ( z α 2 , + ∞ ) (-\infty ,-z_{\frac\alpha2}),(z_{\frac\alpha2},+\infty ) (−∞,−z2α),(z2α,+∞)
解： 原 假 设 H 0 : μ = 32.50 备 择 假 设 H 1 ： μ ≠ 32.50 选 统 计 量 ： U = X ˉ − μ o σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) α = 0.05 即 ： P { ∣ U ∣ > z 0.025 = 0.05 } 查 表 : z 0.025 = 1.96 原假设H_0:\qquad\mu=32.50\qquad\qquad备择假设H_1：\mu\ne32.50\\ 选统计量：\qquad U = \frac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N (0,1)\\ \alpha = 0.05 \qquad 即：P\begin{Bmatrix} |U|>z_{0.025} = 0.05\end{Bmatrix} \qquad查表:z_{0.025} = 1.96 原假设H0:μ=32.50备择假设H1：μ=32.50选统计量：U=σ/n Xˉ−μo∼N(0,1)α=0.05即：P{∣U∣>z0.025=0.05}查表:z0.025=1.96 x ˉ = 32.66 + 29.86 + 31.74 + 30.15 + 32.88 + 31.05 6 = 31.39 ∣ u ∣ = ∣ 31.39 − 32.50 1.1 6 ∣ = 2.472 ∵ 2.472 > 1.96 ∴ 拒 绝 H 0 ， 抗 压 强 度 不 为 32.50 × 1 0 5 P a \bar x = \frac{32.66+29. 86+ 31. 74+30. 15+32. 88+31. 05}{6} = 31.39\\ |u| = \left| \frac{31.39-32.50}{\sqrt {1.1} \sqrt{6}} \right| = 2.472\\ \because2.472>1.96\qquad\therefore拒绝H_0，抗压强度不为32.50\times10^5Pa xˉ=632.66+29.86+31.74+30.15+32.88+31.05=31.39∣u∣=∣∣∣∣1.1 6 31.39−32.50∣∣∣∣=2.472∵2.472>1.96∴拒绝H0，抗压强度不为32.50×105Pa
\qquad 某地区从1975年新生的女孩中随机地抽取20个，测量体重,算得这20个女孩的平均体重为3160g.样本标准差为300g，而根据1975年以前的统计资料知，新生女孩的平均体重为3140g，问1975年的新生女孩与以前的新生女孩比较，平均体重有无显著差异? 假定新生女孩体重服从正态分布，给出 α = 0.05 \alpha= 0. 05 α=0.05.
方差 σ 2 \sigma^2 σ2 未知，检验 μ \mu μ 统计量为： T = X ˉ − μ o S / n ∼ t ( n − 1 ) T = \frac {\bar X - \mu_o}{S/\sqrt n} \sim t (n-1) T=S/n Xˉ−μo∼t(n−1)拒绝域： ( − ∞ , − t α 2 ) , ( t α 2 , + ∞ ) (-\infty ,-t_{\frac\alpha2}),(t_{\frac\alpha2},+\infty ) (−∞,−t2α),(t2α,+∞)
解： 由 题 知 ： x ˉ = 3160 s = 300 n = 20 α = 0.05 原 假 设 H 0 : μ = μ o = 3140 备 择 假 设 H 1 ： μ ≠ μ o 选 统 计 量 ： T = X ˉ − μ o S / n ∼ t ( n − 1 ) α = 0.05 即 ： P { ∣ T ∣ > t 0.025 ( 19 ) } = 0.05 查 表 : t 0.025 ( 19 ) = 2.093 t = 3160 − 3140 300 / 20 = 0.298 ∵ 0.298 < 2.093 ∴ 接 受 H 0 ， 女 孩 体 重 无 显 著 差 异 由题知： \bar x=3160\qquad s= 300 \qquad n=20 \qquad \alpha=0.05\\原假设H_0:\qquad\mu=\mu_o=3140\qquad\qquad备择假设H_1：\mu\ne\mu_o\\ 选统计量：\qquad T = \frac {\bar X - \mu_o}{S/\sqrt n} \sim t (n-1)\\ \alpha = 0.05 \qquad 即：P\begin{Bmatrix} |T|>t_{0.025}(19) \end{Bmatrix} = 0.05\qquad查表:t_{0.025}(19)= 2.093\\ t = \frac{3160-3140}{300/\sqrt{20}}= 0.298\\ \because0.298<2.093\qquad\therefore接受H_0，女孩体重无显著差异 由题知：xˉ=3160s=300n=20α=0.05原假设H0:μ=μo=3140备择假设H1：μ=μo选统计量：T=S/n Xˉ−μo∼t(n−1)α=0.05即：P{∣T∣>t0.025(19)}=0.05查表:t0.025(19)=2.093t=300/20 3160−3140=0.298∵0.298<2.093∴接受H0，女孩体重无显著差异
\qquad 现要求一种元件的使用寿命不得低于1000h,今从一批这种元件中随机地抽25件，测定寿命，算得寿命的平均值为950h,已知该种元件的寿命 X ∼ ( μ , σ 2 ) X\sim(\mu,\sigma^2) X∼(μ,σ2)，且知 σ = 100 σ=100 σ=100，试在检验水平 α = 0.05 α= 0.05 α=0.05 的条件下，确定这批元件是否合格?
单侧检验： 唯一注意的是拒绝域变成单侧
解： 由 题 知 ： x ˉ = 950 σ = 100 n = 25 α = 0.05 原 假 设 H 0 : μ = μ o = 1000 备 择 假 设 H 1 ： μ < μ o 选 统 计 量 ： U = X ˉ − μ o σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) α = 0.05 即 ： P { ∣ U ∣ < z 0.05 } = 0.05 查 表 : z 0.05 = 1.645 u = 950 − 1000 100 / 25 = − 2.5 ∵ ∣ μ ∣ > z 0.05 ∴ 拒 绝 H 0 ， 接 受 H 1 ， 产 品 不 合 格 由题知： \bar x=950\qquad \sigma= 100 \qquad n=25 \qquad \alpha=0.05\\原假设H_0:\qquad\mu=\mu_o=1000\qquad\qquad备择假设H_1：\mu<\mu_o\\ 选统计量：\qquad U = \frac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)\\ \alpha = 0.05 \qquad 即：P\begin{Bmatrix} |U|<z_{0.05} \end{Bmatrix} = 0.05\qquad查表:z_{0.05}=1.645\\ u = \frac{950-1000}{100/\sqrt{25}}= -2.5\\ \because|\mu|>z_{0.05}\qquad\therefore拒绝H_0，接受H_1，产品不合格 由题知：xˉ=950σ=100n=25α=0.05原假设H0:μ=μo=1000备择假设H1：μ<μo选统计量：U=σ/n Xˉ−μo∼N(0,1)α=0.05即：P{∣U∣<z0.05}=0.05查表:z0.05=1.645u=100/25 950−1000=−2.5∵∣μ∣>z0.05∴拒绝H0，接受H1，产品不合格
\qquad 某厂生产的铜丝，要求其拉断力的方差不超过 16 ( k g ) 2 16(kg)^2 16(kg)2,今从某日生产的铜丝中随机地抽取9根,测得其拉断力为(单位:kg) 289.286 , 285 ， 284 , 286 , 285 , 286 ， 298 , 292 289.286 ,285，284 ,286,285, 286，298 ,292 289.286,285，284,286,285,286，298,292设拉断力总体服从正态分布，问该日生产的铜丝的拉断力的方差是否合乎标准? ( α = 0.05 ) (\alpha= 0. 05) (α=0.05)
期望 μ \mu μ 未知，检验 σ 2 \sigma^2 σ2： 统计量为： k 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) k^2 = \frac {(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \,\chi^2 (n-1) k2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)拒绝域： ( 0 , χ 1 − α 2 2 ( n − 1 ) ) , ( χ α 2 2 ( n − 1 ) , + ∞ ) (0,\,\chi_{1 -\frac \alpha2}^2(n-1)),(\chi_{\frac \alpha2}^2(n-1),+\infty ) (0,χ1−2α2(n−1)),(χ2α2(n−1),+∞) 注：单侧同上题处理
解： x ˉ = 1 n − 1 ∑ i = 1 n x i = 287.89 s 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 = 20.36 n = 9 α = 0.05 原 假 设 H 0 : σ 2 = 16 备 择 假 设 H 1 ： σ 2 > 16 选 统 计 量 ： k 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) H 0 的 拒 绝 域 为 ： ( χ α 2 2 ( n − 1 ) , + ∞ ) 查 表 : χ 0.05 2 ( 8 ) = 15.507 k 2 = 8 × 20.36 16 = 10.18 ∵ 10.18 < 15.507 ∴ 接 受 H 0 ， 方 差 不 超 过 16 ， 合 乎 标 准 \bar x=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^{n} x_i = 287.89\qquad s^2= \frac 1n\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar x)^2=20.36 \qquad n=9 \qquad \alpha=0.05\\ 原假设H_0:\qquad\sigma^2=16\qquad\qquad备择假设H_1：\sigma^2>16\\ 选统计量：\qquad k^2 = \frac {(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \,\chi^2 (n-1)\\ H_0的拒绝域为：\qquad (\chi_{\frac \alpha2}^2(n-1),+\infty ) \qquad查表:\chi^2_{0.05}(8)=15.507\\ k^2 = \frac{8\times20.36}{16}=10.18\\ \because10.18<15.507\qquad\therefore接受H_0，方差不超过16，合乎标准 xˉ=n−11i=1∑nxi=287.89s2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2=20.36n=9α=0.05原假设H0:σ2=16备择假设H1：σ2>16选统计量：k2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)H0的拒绝域为：(χ2α2(n−1),+∞)查表:χ0.052(8)=15.507k2=168×20.36=10.18∵10.18<15.507∴接受H0，方差不超过16，合乎标准
\qquad 设对某正态总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(μ,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) 的均值 μ μ μ 进行假设检验。 H 0 ： μ = μ o ， H ： μ > μ o H_0：μ= \mu_o，H：μ >μ_o H0：μ=μo，H：μ>μo，已知 σ = 300 σ = 300 σ=300，取样本容量 n = 25 n = 25 n=25，取 H 0 H_0 H0 的接受域为 ( − ∞ , 995 ) (-\infty,995) (−∞,995). (1) 若 μ o = 900 \mu_o= 900 μo=900， 求犯第一类错误(弃真) 的概率 α; (2) 若 μ o \mu_o μo不正确， μ = μ 1 = 1070 \mu= \mu_1= 1070 μ=μ1=1070 正确， 向此时犯第二类错误(取伪)的概率 β \beta β 是多少? (3) 若要使犯第类错误的概率减少到(1)中 α \alpha α 的一半，同样本容量应增大到多少?
解： 由 题 知 ： σ = 300 n = 25 H 0 的 接 受 域 为 ： （ − ∞ , 995 ） H 0 的 拒 绝 域 为 ： （ 995 , + ∞ ） 选 统 计 量 ： U = X ˉ − μ o σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) ( 1 ) , α = P { 弃 真 } = P { 拒 绝 H 0 ∣ H 0 正 确 } = P { X ˉ > 995 ∣ μ = μ o = 900 } = P { X ˉ − 900 300 / 25 > 995 − 900 300 / 25 } = P { U > 1.58 } = 1 − Φ ( 1.58 ) = 1 − 0.943 = 0.057 ( 2 ) , β = P { 取 伪 } = P { 接 受 H 0 ∣ H 0 不 正 确 } = P { X ˉ < 995 ∣ μ = μ o = 1070 } = P { X ˉ − 1070 300 / 25 < 995 − 1070 300 / 25 } = P { U < − 1.25 } = Φ ( − 1.25 ) = 0.106 \begin{aligned} &由题知：\qquad\sigma=300\qquad n=25\qquad\\ H_0的接受域为：&（-\infty,995）\qquad H_0的拒绝域为：（995,+\infty）\\选统&计量：\qquad U = \frac {\bar X - \mu_o}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)\\ (1),\qquad\alpha &=P\begin{Bmatrix} 弃真 \end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} 拒绝H_0|H_0正确\end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \bar X>995|\mu = \mu_o = 900 \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \frac{\bar X-900}{300/\sqrt{25}}> \frac{995-900}{300/\sqrt{25}} \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix}U>1.58 \end{Bmatrix}\\ &=1-\Phi(1.58) \\ &= 1-0.943 \\&= 0.057\\ (2),\qquad\beta &=P\begin{Bmatrix} 取伪 \end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} 接受H_0|H_0不正确\end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \bar X<995|\mu=\mu_o=1070 \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \frac{\bar X-1070}{300/\sqrt{25}}<\frac{995-1070}{300/\sqrt{25}} \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} U<-1.25 \end{Bmatrix}\\ &=\Phi(-1.25)\\ &=0.106\end{aligned} H0的接受域为：选统(1),α(2),β由题知：σ=300n=25（−∞,995）H0的拒绝域为：（995,+∞）计量：U=σ/n Xˉ−μo∼N(0,1)=P{弃真}=P{拒绝H0∣H0正确}=P{Xˉ>995∣μ=μo=900}=P{300/25 Xˉ−900>300/25 995−900}=P{U>1.58}=1−Φ(1.58)=1−0.943=0.057=P{取伪}=P{接受H0∣H0不正确}=P{Xˉ<995∣μ=μo=1070}=P{300/25 Xˉ−1070<300/25 995−1070}=P{U<−1.25}=Φ(−1.25)=0.106
( 3 ) , 设 样 本 容 量 为 n ， α < 0.057 2 = 0.0285 α = P { 弃 真 } = P { 拒 绝 H 0 ∣ H 0 正 确 } = P { X ˉ > 995 ∣ μ = μ o = 900 } = P { X ˉ − 900 300 / n > 995 − 900 300 / n } = P { U > 19 n 60 } = 1 − Φ ( 19 n 60 ) < 0.0285 即 ： Φ ( 19 n 60 ) > 0.9715 得 ： 19 n 60 > 1.91 n ≥ 37 \begin{aligned} (3),\qquad\qquad设样本&容量为n，\ \alpha < \frac {0.057}{2} = 0.0285\\ \qquad\alpha &=P\begin{Bmatrix} 弃真 \end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} 拒绝H_0|H_0正确\end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \bar X>995|\mu = \mu_o = 900 \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix} \frac{\bar X-900}{300/\sqrt{n}}> \frac{995-900}{300/\sqrt{n}} \end{Bmatrix}\\ &=P\begin{Bmatrix}U>\frac{19\sqrt{n}}{60} \end{Bmatrix}\\ &=1-\Phi(\frac{19\sqrt{n}}{60}) < 0.0285 \\ 即：&\qquad\ \ \Phi(\frac{19\sqrt{n}}{60})>0.9715\\ 得：&\qquad\ \ \frac{19\sqrt{n}}{60}>1.91 \qquad n\ge37\end{aligned} (3),设样本α即：得：容量为n， α<20.057=0.0285=P{弃真}=P{拒绝H0∣H0正确}=P{Xˉ>995∣μ=μo=900}=P{300/n Xˉ−900>300/n 995−900}=P{U>6019n }=1−Φ(6019n )<0.0285 Φ(6019n )>0.9715 6019n >1.91n≥37 注：第三问不太理解，书中的答案是大于等于40。如果按照样本容量为40来计算的话，最后的α是0.0228，满足要求。如果按照样本容量为37的话，最后的α是0.0271，也满足要求。 保留意见，仅供参考
\qquad 现有两箱灯泡今从第一箱中取9只测试，算得平均寿命为1532h，标准差为423h；从第二箱中取18只测试，算得平均寿命为1412h，标准差为380h。设两箱灯泡寿命都服从正态分布，且方差相等，问是否可以认为这两箱灯泡是同一批生产的 ? ( α = 0.05 ) ?\,(\alpha= 0. 05) ?(α=0.05)
解： 同 一 批 生 产 的 产 品 应 当 是 均 值 、 方 差 都 没 有 显 著 的 变 化 。 n 1 = 9 x 1 ˉ = 1532 s 1 = 423 n 2 = 18 x 2 ˉ = 1412 s 2 = 380 在 μ 1 ， μ 2 未 知 的 情 况 下 ， 检 验 两 总 体 的 方 差 比 原 假 设 H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 备 择 假 设 H 1 ： σ 1 2 ≠ σ 2 2 选 统 计 量 ： F = s 1 2 s 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) H 0 的 拒 绝 域 为 ： ( 0 , F 0.975 ( 8 , 17 ) ) ( F 0.025 ( 8 , 17 ) , + ∞ ) 查 表 得 ： F 0.975 ( 8 , 17 ) ≈ 0.246 F 0.025 ( 8 , 17 ) = 3.06 F = 42 3 2 38 0 2 = 1.239 ∵ 0.246 < 1.239 < 3.06 ∴ 接 受 H 0 ， 即 σ 1 2 = σ 2 2 在 σ 1 2 , σ 2 2 未 知 的 情 况 下 ， 检 验 两 正 态 总 体 的 期 望 差 原 假 设 H 0 : μ 1 = μ 2 备 择 假 设 H 1 ： μ 1 ≠ μ 2 选 统 计 量 ： T = X ˉ − Y ˉ S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 H 0 的 拒 绝 域 为 ： ∣ T ∣ > t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) 查 表 得 ： t 0.025 ( 25 ) = 2.0595 S w 2 = 8 × 42 3 2 + 17 × 38 0 2 8 + 17 ≈ 155449.28 ∣ t ∣ = 1532 − 1412 S w 2 1 9 + 1 18 ≈ 0.746 ∵ 0.746 < 2.0595 ∴ 接 受 H 0 ， 说 明 两 总 体 的 期 望 差 相 等 综 合 上 述 所 知 ， 两 箱 灯 泡 是 同 一 批 生 产 的 同一批生产的产品应当是均值、方差都没有显著的变化。\\n_1=9\qquad \bar {x_1}=1532\qquad s_1=423\\ n_2=18\qquad \bar {x_2}=1412\qquad s_2=380\\ 在\mu_1，\mu_2未知的情况下，检验两总体的方差比\\ 原假设H_0:\qquad\sigma_1^2=\sigma_2^2\qquad\qquad备择假设H_1：\sigma_1^2\ne\sigma_2^2\\ 选统计量：F= \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)\\ H_0的拒绝域为：\qquad(0,F_{0.975}(8,17)\,)\qquad(F_{0.025}(8,17)\,,+\infty)\\ 查表得：\qquad F_{0.975}(8,17)\approx0.246\qquad F_{0.025}(8,17) =3.06\qquad \\ F = \frac{423^2}{380^2}=1.239\\ \because \qquad0.246<1.239<3.06 \qquad \therefore 接受H_0，即\sigma_1^2=\sigma_2^2\\ 在\sigma_1^2,\sigma_2^2未知的情况下，检验两正态总体的期望差\\ 原假设H_0:\qquad\mu_1=\mu_2\qquad\qquad备择假设H_1：\mu_1\ne\mu_2\\ 选统计量：\qquad T = \frac{\bar X- \bar Y}{S_w\sqrt {\frac1{n_1} + \frac1{n_2}}}\sim t (n_1+n_2-2)\qquad \qquad S_w^2 = \frac {(n_1-1)S_1^2 +(n_2-1)S_2^2 }{n_1+n_2-2}\\ H_0的拒绝域为：\qquad|T|>t_{\alpha/2}({n_1+n_2-2})\\ 查表得：\qquad t_{0.025}(25) = 2.0595\\ S_w^2 = \frac{8\times423^2+17\times380^2}{8+17} \approx 155449.28\\ |t| = \frac{1532-1412}{\sqrt {S_w^2}\sqrt{\frac 19+\frac 1{18}}} \approx 0.746\\ \because \qquad 0.746<2.0595\qquad \therefore接受H_0，说明两总体的期望差相等\\ 综合上述所知，两箱灯泡是同一批生产的 同一批生产的产品应当是均值、方差都没有显著的变化。n1=9x1ˉ=1532s1=423n2=18x2ˉ=1412s2=380在μ1，μ2未知的情况下，检验两总体的方差比原假设H0:σ12=σ22备择假设H1：σ12=σ22选统计量：F=s22s12∼F(n1−1,n2−1)H0的拒绝域为：(0,F0.975(8,17))(F0.025(8,17),+∞)查表得：F0.975(8,17)≈0.246F0.025(8,17)=3.06F=38024232=1.239∵0.246<1.239<3.06∴接受H0，即σ12=σ22在σ12,σ22未知的情况下，检验两正态总体的期望差原假设H0:μ1=μ2备择假设H1：μ1=μ2选统计量：T=Swn11+n21 Xˉ−Yˉ∼t(n1+n2−2)Sw2=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22H0的拒绝域为：∣T∣>tα/2(n1+n2−2)查表得：t0.025(25)=2.0595Sw2=8+178×4232+17×3802≈155449.28∣t∣=Sw2 91+181 1532−1412≈0.746∵0.746<2.0595∴接受H0，说明两总体的期望差相等综合上述所知，两箱灯泡是同一批生产的
第十章传送门.
