0、算法概述

0.1 算法分类

十种常见排序算法可以分为两大类：

比较类排序：通过比较来决定元素间的相对次序，由于其时间复杂度不能突破O(nlogn)，因此也称为非线性时间比较类排序。非比较类排序：不通过比较来决定元素间的相对次序，它可以突破基于比较排序的时间下界，以线性时间运行，因此也称为线性时间非比较类排序。

0.2 算法复杂度

0.3 相关概念

稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面。不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后面。时间复杂度：对排序数据的总的操作次数。反映当n变化时，操作次数呈现什么规律。空间复杂度：是指算法在计算机 内执行时所需存储空间的度量，它也是数据规模n的函数。

1、冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

1.1 算法描述

比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；重复步骤1~3，直到排序完成。

1.2 动图演示

1.3 代码实现

//冒泡法 /* 相邻元素比较：选择小的元素放在前面 非相邻元素比较，则是插入法的思想 */ void BubbleSort(int a[], int len) { int i, j, tmp; int exchange = 1; //外层比较，确定n-1趟 for (i = 0; (i < len-1) && (exchange >0); i++) { int tmp; exchange = 0; for (j = len - 1 ; j >0 ; j--){ //从后往前冒泡 if (a[j ] < a[j-1]){ //相邻元素比较 tmp = a[j ]; a[j] = a[j-1]; a[j-1] = tmp; exchange = 1; } } } }

2、选择排序（Selection Sort）

选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

2.1 算法描述

n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。具体算法描述如下：

初始状态：无序区为R[1…n]，有序区为空；第i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时，当前有序区和无序区分别为R[1…i-1]和R(i…n）。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1…i]和R[i+1…n)分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区；n-1趟结束，数组有序化了。

2.2 动图演示

2.3 代码实现

//选择排序法 /* 从该位置后面选择最小的元素放在该位置 */ void SelectSort(int a[],int len) { //外层循环跑n趟 for (int i = 0; i < len; i++){ //内层循环找出最小值进行交换 int tmp; for (int j = i; j < len; j++){ if (a[j] < a[i]){ tmp = a[j]; a[j] = a[i]; a[i] = tmp; } } } }

2.4 算法分析

表现最稳定的排序算法之一，因为无论什么数据进去都是O(n2)的时间复杂度，所以用到它的时候，数据规模越小越好。唯一的好处可能就是不占用额外的内存空间了吧。理论上讲，选择排序可能也是平时排序一般人想到的最多的排序方法了吧。

3、插入排序（Insertion Sort）

插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

3.1 算法描述

一般来说，插入排序都采用in-place在数组上实现。具体算法描述如下：

从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；将新元素插入到该位置后；重复步骤2~5。

3.2 动图演示

3.2 代码实现

// 插入排序法 /* 插入排序法： 拿着当前位置元素和前面的元素进行比较，只要当前元素比前面的元素大，则插入到该元素前面 直到前面的元素不满足要求，记录插入位置。 先拿出来 再比较插入 */ void InsertSort(int a[], int len) { int i, j, k; int tmp; for (i = 1; i < len; i++) { k = i; //待插入元素位置 tmp = a[k]; //先拿出来 for (j = i - 1; (j >= 0) && (a[j] > tmp); j--){ a[j + 1] = a[j]; //只要大，则元素后移 k = j; //记录移动的位置 } a[k] = tmp; //元素插入 } }

3.4 算法分析

插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序），因而在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

4、希尔排序（Shell Sort）

1959年Shell发明，第一个突破O(n2)的排序算法，是简单插入排序的改进版。它与插入排序的不同之处在于，它会优先比较距离较远的元素。希尔排序又叫缩小增量排序。

选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

4.2 动图演示

4.3 代码实现

// 希尔排序 /* 核心思想还是使用插入排序算法 通过分组，让数据在小规模内有序，减小递归增量使得整体有序 */ void ShellSort(int a[], int len) { int i, j, k, tmp; int gap = len; do{ //gap的选择可以有多中方案，如gap = gap/2,这里使用的是业界统一实验平均情况最好的，收敛为1 gap = gap / 3 + 1; for (i = gap; i < len; i += gap) //分成len/gap组 { //每组使用插入排序 k = i; tmp = a[k]; for (j = i - gap; (j >= 0) && (a[j] > tmp); j -= gap){ a[j + gap] = a[j]; k = j; } a[k] = tmp; } } while (gap > 1); }

4.4 算法分析

希尔排序的核心在于间隔序列的设定。既可以提前设定好间隔序列，也可以动态的定义间隔序列。动态定义间隔序列的算法是《算法（第4版）》的合著者Robert Sedgewick提出的。

5、归并排序（Merge Sort）

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。

5.1 算法描述

把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；对这两个子序列分别采用归并排序；将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

5.2 动图演示

5.3 代码实现

//归并排序 /* 使用分治思想： 假设两个子数组是有序的，将其按照有序序列合并，合并组成新的有序数组，再与其他部分合并 */ void merge(int arr[], int low, int mid, int high, int temp[]) { int i = low; //左子数组开始位置 int j = mid + 1; //右子数组开始位置 int t = 0; //临时空间指针 while (i <= mid && j <= high) { if (arr[i] < arr[j]) temp[t++] = arr[i++]; else temp[t++] = arr[j++]; } //将左边剩余元素填充进temp中 while (i <= mid) temp[t++] = arr[i++]; //将右边子数组剩余部分填充到temp中 while (j <= high) temp[t++] = arr[j++]; //将融合后的数据拷贝到原来的数据对应的子空间中 t = 0; while (low <= high) { arr[low++] = temp[t++]; } } void MSort(int arr[], int low, int high, int temp[]) { if (low < high) //只有low==high为一个元素的时候不用再细分自分组，融合 { int mid = (low + high) / 2; //左子数组融合排序 MSort(arr, low, mid, temp); //右子数组融合排序 MSort(arr, mid + 1, high, temp); //已经排序好的子数组有序融合 merge(arr, low, mid, high, temp); } }

5.4 算法分析

归并排序是一种稳定的排序方法。和选择排序一样，归并排序的性能不受输入数据的影响，但表现比选择排序好的多，因为始终都是O(nlogn）的时间复杂度。代价是需要额外的内存空间。

6、快速排序（Quick Sort）

快速排序的基本思想：通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

6.1 算法描述

快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：

从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；递归（recursive）地把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

6.2 动图演示

6.3 代码实现

//快速排序： /* 选择一个基准，将基准移动到数据中间，使得左边的数据都小于基准，右边的数都大于基准 递归划分，当数据元素等于1个的就是一个的时候就是有序的了 */ void swap(int arr[], int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } int partion(int arr[], int low, int high) { int privot = arr[low]; //选择第一个元素作为基准 //推动左右指针向中间移动，即将基准移动到中间，low和high中的某一个一定是指向基准的 while (low < high) { while ((low < high) && arr[high] >= privot) //如果右边的数比基准大，则不用移动，否则将其交换到左边去 high--; swap(arr, low, high); while ((low < high) && arr[low] <= privot) low++; swap(arr, low, high); } return low; //当low=high的时候则停止划分，由于low和high在移动的过程中，总有一个是指向基准的，这里返回，low其实就是基准在数组中的索引 } //递归划分，当划分到一个元素的时候，子数组就是有序的 void QSort(int arr[], int low, int high) { if (low < high) { int idx = partion(arr, low, high); //递归划分划分左右子数组，让左右子数组有序 QSort(arr, low, idx-1); QSort(arr, idx+1, high); } } void QucikSort(int arr[], int n) { QSort(arr, 0, n - 1); }

7、堆排序（Heap Sort）

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

7.1 算法描述

将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

7.2 动图演示

7.3 代码实现

void swap(int arr[], int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } void heapify(int tree[], int n, int p) /* n表示树的节点个数 p表示要处理的当前节点的下标 该函数的功能是：面对一个仅有节点p为，不符合堆的性质的情况。如果在节点p插入一个新元素，插入比其子节点小的数，就破坏了堆的性质（父节点大于子节点），因此需要对堆进行调整： 调整的思路是如果： 如果子节点比父节点大，则将其与子节点交换，使得父节点位置满足堆的性质，但是由于交换可能会破坏子节点的堆的性质，因此要递归地对子节点进行堆化 因为是递归，所以要考虑递归的出口，当节点p达到最后一个叶子节点为止 */ { //递归出口 if (p >= n)return; //到达最后一个叶子节点 //计算左右节点的索引，完全二叉树满足的性质 int c1 = 2 * p + 1; int c2 = 2 * p + 2; int max =-1; //判断父节点和左右孩子节点中的最大值 if (c1 < n && tree[c1] > tree[p]) max = c1; if (c2<n && tree[c2] > tree[p]) //c1,c2小于n防止叶子节点c1,c2不满足而越界 if(max = !-1 && tree[c2]>tree[c1]) //将子结点中最大的那个索引给max max=c2; if (max != -1) //交换,叶就是说子树不满足堆父大于子的情况，交换，由于交换改变了子树的父节点，因此需要对子树要调整 { swap(tree, max, p); heapify(tree, n, max);//同时对特的子树叶同时做一个heapify } } void build_heap(int tree[], int n) /* 面对对于一个完全无序的数组，如何构建出一个堆： 思路：从最后一个节点的父节点开始做heapfy，直到根节点，就可以将无序数组组织成堆的形式 */ { int last_node = n - 1; int parent = (last_node-1) / 2; //父节点的位置计算 for (int i = parent; i >= 0; i--) { heapify(tree, n, i); } return; } /* 堆排序： 堆排序将问题分解成了2个步骤： 先建立一个堆，在依据堆顶为最大值的性质，循环抽出堆顶最大值交换到堆的末尾位置，有序序列，由于抽出最大值破坏了堆的性质，因此要重新heapify 而在建立堆的过程中，首先面临的是一堆无序的数，需要从最后一个节点的父节点开始heapify，才能使得整个数组变成堆，其中heapify的过程就是递归将调整父节点子节点的过程 */ void heap_sort(int tree[], int n) { //先建立堆 build_heap(tree, n); //由于堆顶总是放的是最大值，因此我们将堆顶元素与堆的最后一个元素做交换 //做交换后，前面的n-1个数的堆的性质被破坏，重新做一个heapify for (int i = n - 1; i >= 0; i--) //从最后一个元素开始交换 { swap(tree, i, 0); heapify(tree, i, 0); //i==n-1，前面的n-1个元素构成的堆被破坏，重新从堆顶heapify, } }

8、计数排序（Counting Sort）

计数排序不是基于比较的排序算法，其核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。 作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。

8.1 算法描述

找出待排序的数组中最大和最小的元素；统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项；对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）；反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1。

8.2 动图演示

8.3 代码实现

// 计数排序 void countingSort(vector<int>& arr, int maxValue=100) { vector<int>bucket(maxValue + 1, 0); int sortedIndex = 0; int arrLen = arr.size(); int bucketLen = maxValue + 1; for (int i = 0; i < arrLen; i++) { if (!bucket[arr[i]]) { bucket[arr[i]] = 0; } bucket[arr[i]]++; } for (int j = 0; j < bucketLen; j++) { while (bucket[j] > 0) { arr[sortedIndex++] = j; bucket[j]--; } } return; }

8.4 算法分析

计数排序是一个稳定的排序算法。当输入的元素是 n 个 0到 k 之间的整数时，时间复杂度是O(n+k)，空间复杂度也是O(n+k)，其排序速度快于任何比较排序算法。当k不是很大并且序列比较集中时，计数排序是一个很有效的排序算法。

9、桶排序（Bucket Sort）

桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排）。

9.1 算法描述

设置一个定量的数组当作空桶；遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去；对每个不是空的桶进行排序；从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来。

9.2 动图演示

9.3 代码实现

// 桶排序 //每个桶里面使用冒泡排序（也可使用其他排序算法） void BubbleSort(vector<int>& arr) { int tmp; for (int i = 0; i < arr.size(); i++) { //内存循环两两比较，大则交换，最后的结果是总有一个达到最后,所以下一次循环就只有遍历n-1个 for (int j = 0; j < arr.size() - i - 1; j++) { if (arr[j]>arr[j + 1]) { tmp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = tmp; } } } } void bucketSort(vector<int>& arr, int bucketSize=5) { if (arr.size() == 0) { return ; } int i; int minValue = arr[0]; int maxValue = arr[0]; for (i = 1; i < arr.size(); i++) { if (arr[i] < minValue) { minValue = arr[i]; // 输入数据的最小值 } else if (arr[i] > maxValue) { maxValue = arr[i]; // 输入数据的最大值 } } int bucketCount = int((maxValue - minValue) / bucketSize) + 1; //根据最大最小计算桶的个数 vector<vector<int>>buckets(bucketCount,vector<int>()); // 利用映射函数将数据分配到各个桶中 for (i = 0; i < arr.size(); i++) { int idx = int((arr[i] - minValue) / bucketSize); buckets[idx].push_back(arr[i]); } arr.clear(); for (i = 0; i < buckets.size(); i++) { BubbleSort(buckets[i]); // 对每个桶进行排序，这里使用了冒泡排序，可以用上面的任意一种排序代替 for (int j = 0; j < buckets[i].size(); j++) { arr.push_back(buckets[i][j]); } } return ; }

9.4 算法分析

桶排序最好情况下使用线性时间O(n)，桶排序的时间复杂度，取决与对各个桶之间数据进行排序的时间复杂度，因为其它部分的时间复杂度都为O(n)。很显然，桶划分的越小，各个桶之间的数据越少，排序所用的时间也会越少。但相应的空间消耗就会增大。

10、基数排序（Radix Sort）

基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。

10.1 算法描述

取得数组中的最大数，并取得位数；arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；

10.2 动图演示

10.3 代码实现

/* * 获取数组a中最大值 * * 参数说明： * a -- 数组 * n -- 数组长度 */ int get_max(int a[], int n) { int i, max; max = a[0]; for (i = 1; i < n; i++) if (a[i] > max) max = a[i]; return max; } /* * 对数组按照"某个位数"进行排序(桶排序) * * 参数说明： * a -- 数组 * n -- 数组长度 * exp -- 指数。对数组a按照该指数进行排序。 * * 例如，对于数组a={50, 3, 542, 745, 2014, 154, 63, 616}； * (01) 当exp=1表示按照"个位"对数组a进行排序 * (02) 当exp=10表示按照"十位"对数组a进行排序 * (03) 当exp=100表示按照"百位"对数组a进行排序 * ... */ void count_sort(int a[], int n, int exp) { int output[n]; // 存储"被排序数据"的临时数组 int i, buckets[10] = {0}; // 将数据出现的次数存储在buckets[]中 for (i = 0; i < n; i++) buckets[ (a[i]/exp)%10 ]++; // 更改buckets[i]。目的是让更改后的buckets[i]的值，是该数据在output[]中的位置。 for (i = 1; i < 10; i++) buckets[i] += buckets[i - 1]; // 将数据存储到临时数组output[]中 for (i = n - 1; i >= 0; i--) { output[buckets[ (a[i]/exp)%10 ] - 1] = a[i]; buckets[ (a[i]/exp)%10 ]--; } // 将排序好的数据赋值给a[] for (i = 0; i < n; i++) a[i] = output[i]; } /* * 基数排序 * * 参数说明： * a -- 数组 * n -- 数组长度 */ void radix_sort(int a[], int n) { int exp; // 指数。当对数组按各位进行排序时，exp=1；按十位进行排序时，exp=10；... int max = get_max(a, n); // 数组a中的最大值 // 从个位开始，对数组a按"指数"进行排序 for (exp = 1; max/exp > 0; exp *= 10) count_sort(a, n, exp); }

10.4 算法分析

基数排序基于分别排序，分别收集，所以是稳定的。但基数排序的性能比桶排序要略差，每一次关键字的桶分配都需要O(n)的时间复杂度，而且分配之后得到新的关键字序列又需要O(n)的时间复杂度。假如待排数据可以分为d个关键字，则基数排序的时间复杂度将是O(d*2n) ，当然d要远远小于n，因此基本上还是线性级别的。

基数排序的空间复杂度为O(n+k)，其中k为桶的数量。一般来说n>>k，因此额外空间需要大概n个左右。

参考： https://blog.csdn.net/zhangsy_csdn/article/details/91483600 https://www.cnblogs.com/onepixel/articles/7674659.html