布丰投针试验的仿真和误差估计

it2024-12-09 21

布丰投针试验

一.试验原理1.试验步骤2.理论概率及

\pi

的计算与误差二.Python代码的实现

一.试验原理

1.试验步骤

1.选一个长度为 $l$ 的针。再选取一张白纸，上面划分许多平行且相隔为 $a$ 的平行线。( $l < a$ )

2.随机向纸投 $n$ 次针，其中有 $m$ 次针与平行线相交。

3.计算投针的概率为 $\frac{m}{n}$ 。

2.理论概率及 $\pi$ 的计算与误差

这根长为 $l$ 的针的姿态由偏角 $\theta$ 和针的中点到相邻平行线的最短距离 $x$ 决定。且 $x$ 和 $\theta$ 的分布相互独立，其中 $0<x<\frac{a}{2}$ ,而且其偏角 $0<\theta<\pi$ ，二者均服从平面上的均匀分布。即： $\sim U(0,\frac{a}{2})\\ \theta \sim U(0,\pi)$ 因此如果朝这个平面随机投针，那么 $(x,\theta)$ 在平面上的二维均匀分布的概率密度就是： $\begin{cases} \frac{2}{\pi a} &\ 0<x<\frac{a}{2},0<\theta<\pi\\ 0&其他\end{cases}$ 而要使得针与直线相交则要满足以下条件: $D:\{(x,\theta):0\leq x \leq \frac{l}{2}sin \theta\}$ 因此由二维连续随机变量概率计算公式可知: $P\{D\} = \iint_{D} f(x,y)d \sigma = \iint_{0 \leq x \leq \frac{l}{2}sin \theta}\frac{2}{\pi a}dxd \theta = \frac{2l}{\pi a}$ 其中设定 $0 - 1$ 变量 $X$ ： $\begin{cases} 1&针与平行线相交\\0 & 针没有与平行线相交\end{cases}$ 我们做 $n$ 次相互独立的试验,那么 $X_i(i=1,2..n)$ 就服从以下参数的二项分布： $X_i \sim b(n,\frac{2l}{\pi a})$ 我们可以知道每次伯努利试验的数学期望: $\frac{2l}{\pi a}$ 。同时做实验 $n$ 次，得出由 $m$ 次与直线相交： $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{m}{n}$ 因此，我们可以由中心极限定理的公式来估计误差: $lim_{N \rightarrow \infty}P\{|\frac{m}{n}-\frac{2l}{\pi a}|<\frac{\lambda_{\alpha} \sigma}{\sqrt{n}}\} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\lambda_{\alpha}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = 1-\alpha$ 其中，当 $\alpha = 0.5,0.05,0.003$ 时， $\lambda_{\alpha} = 0.6745,1.96,3$ 。如果我们设 $\epsilon=\frac{\lambda_{\alpha}\sigma}{\sqrt{n}}$ ，那么最后 $\pi$ 的 $1-\alpha$ 的置信区间为： $[\frac{2l}{a(\frac{m}{n}+\epsilon)},\frac{2l}{a(\frac{m}{n}-\epsilon)}]$

二.Python代码的实现

在这里我们取 $\alpha = 0.05$ 来用 $M e n t e C a r l o$ 法求 $\pi$ 验证一下结果的正确性：

import random import math random.seed(5) numbers = 1000000 m = 0 sum2 = 0 a = 4 l = 1 for i in range(numbers): x = a/2*random.random() theta = math.pi*random.random() if x<=(l/2*math.sin(theta)): m += 1 sum2 += 1**2 Prop = m/numbers pi_stand = 2*l/(a*Prop) sigma = math.sqrt(1/numbers*sum2-(1/numbers*m)**2) epsilon = 1.96*sigma /math.sqrt(numbers) pi_max = 2*l/(a*(Prop-epsilon)) pi_min = 2*l/(a*(Prop+epsilon)) print('在{:}的试验之后，认为pi的估测值是{:.3f},有0.95的概率可以认为pi在[{:.4f} {:.4f}]'.format(numbers,pi_stand,pi_min,pi_max))

最后的结果是：

在1000000的试验之后，认为pi的估测值是3.145,有0.95的概率可以认为pi在[3.1314 3.1597] Process finished with exit code 0

可以大概率认为我们的结果是正确的。

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