连续型随机变量及其分布

1. 分布函数(概率累加和)

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 $F(x)=P\{X\le x\}$, $-\infty <x<+\infty$ 称为$X$的分布函数。 $F(x)$的基本性质：

$F(x)$是个不减函数$0\le F(x)\le 1$且 $$F(-\infty )=\underset{x\to 0}{\lim }F(x)=0$$$$F(\infty )=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1$$

2. 概率密度（面积为概率）

分布函数F(x),存在非负函数$f(x)$，使对于任意实数$x$有$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$，则称$X$为连续型随机变量，其中函数$f(x)$称为$X$的概率密度函数（概率密度） 性质： 1. $f(x)\ge 0$ 2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$ 3. 对于任意实数$x_1,x_2(x_1\le x_2)$ $$P\{x<X\le x_2\}=F(x_2)-F(x_1)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$$ 4. 若$f(x)$在点$x$处连续，则有$F^{{}^{\prime }}(x)=f(x)$

3. 分布

均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& a<x<b\\ 0& 其他\end{array}$$ 则称$X$在区间$(a,b)$上服从均匀分布，记为$X\sim U(a,b)$指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }& x>0\\ 0& 其他\end{array}$$ 其中$\theta >0$为常数，则称X服从参数为$\theta$的指数分布正态分布 若连续型随机变量X的概率密度为 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}，-\infty <x<\infty$$ 其中$u,\sigma (\sigma >0)$为常数，则称X服从参数为$u,\sigma$的正态分布（高斯分布），记为$X\sim N(u,{\sigma }^2)$