大话数据结构之每日读书总结（二）

20201020 记： 时隔多月，重新拾起《大话数据结构》这本书，认真品读，重新进行每日读书笔记的总结。

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第2章 算法

这一章主要谈了算法的一些基本概念，谈到了数据结构与算法的关系是相互依赖的，是不可分割的。

1. 算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

2. 算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

2.1 输入输出

算法具有零个或多个输入； 算法至少有一个或多个输出。

2.2 有穷性

算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

2.3 确定性

算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

2.4 可行性

算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限的次数完成。

3. 算法设计的要求

算法设计具有五个要求：正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量需求。

3.1 正确性

算法的正确性是指算法至少应该是具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。

3.2 可读性

算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

3.3 健壮性

当输入数据不合法时，算法也能够做出相应的处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

3.4 高效率和低存储量需求

最后，好的算法还应该具备时间效率（时间效率指的是算法的执行时间）高和存储量（存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法采用恒旭运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间）低的特点。 设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

4. 算法效率的度量方法

事后统计方法（不科学、不准确）、事前分析估算方法。

4.1 事后统计方法

这种方法主要是同设计好测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。缺陷： 必须依据算法事先编制好程序；时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素；算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系。

4.2 事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。因素： 算法采用的策略、方法（算法好坏的根本）；编译产生的代码质量；问题的输入规模（由软件支持）；机器执行指令的速度（看硬件的性能）。

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模（问题输入规模是指输入量的多少）。

5. 函数的渐近增长

给定两个函数 f(n) 和 g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的 n > N， f(n) 总是比 g(n) 大，那么，我们就说 f(n) 的增长渐进快于 g(n)。结论： 可以忽略加法常数；与最高次项相乘的常数并不重要；最高次项的指数大的，函数随着 n 的增长，结果也会变得增长特别快；判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数；某个算法，随着 n 的增大，它会越来越优于另一个算法，或者越来越差于另一算法。

6. 算法时间复杂度

6.1 时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作： T(n) = O(f(n)) 。它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间增长率和 f(n) 的增长率相同，称做算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。

一般情况下，随着 n 的增大，T(n) 增长最慢的算法为最优算法。

6.2 推导大 O 阶：

用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

6.3 常见的时间复杂度

常数阶 O(1)线性阶 O(n)平方阶 O(n^2)对数阶 O(logn)nlogn阶 O(nlogn)立方阶 O(n^3)指数阶 O(2^n)

时间复杂度耗时（从小到大）排序： O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

7. 最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

8. 算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需要的存储空间实现，计算公式：S(n) = O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n) 为语句关于 n 所占存储空间的函数。

一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。

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通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”来指空间需求。