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一些基本概念选择公理Zorn引理半序集和全序集Zorn 引理

一些基本概念

指标集： 设I和X是两个非空集合，以I为指标集的X的一个元素族即一个映射 $f:I\to X$ ,定义为 $f:i\in I\to x_i\in X$ ,就是视I中的元素为指标，记作 $(x_i{)}_{i\in I}$ 说实话这段我一开始根本没看懂。仔细思索之后感觉大概人话就是说，我有一个集合I，然后这个集合I里面的每个元素 $i$ 都能找到一个对应的集合 $x_i$ ，那么整个集合I的话就能找到一个集合的集合，这个集合的集合就是集合族，其中每一个集合都对应有一个指标i，所以i的集合I叫做指标集。 子族： 元素族 $(x_i{)}_{i\in I}$ 的子族 $(x_i{)}_{i\in J}$ 是指映射 $g:J\to X$ ，满足 $J\subset I$ 且 $f{|}_J=g$ （这个符号前面映射那里提过，是限制的意思）n维元： 如果 $I=\{1,\dots ,n\},n\ge 1$ ，则称该元素组为一n维元，记作 $(x_j)_{j=1}^n or(x_1,…,x_n) $序列： 如果 $I=\mathbb{N}$ ，则称元素组 $(x_i{)}_{i\in I}$ 是一个序列，记作 $$(x_n{)}_{n=0}^{\infty }or(x_0,x_1,x_2,x_3,...,x_n,...)or(x_n{)}_{n\ge 0}or(x_n)$$ 我的数学功底可是太差了，这里的这个 $\mathbb{N}$ 符号都给我看蒙了，还是问的邹院是啥意思，才知道原来是自然数Natural Number，对一下好像没问题，x的角标就是自然数。 子集族： 设 $I$ 和 $X$ 是两个集合，以 $I$ 为指标集的 $X$ 的子集族 $(A_i{)}_{i\in I}$ 是指一族 $i\in I\to A_i\in \mathcal{P}(X)$子集族的并集和交集： 给定集合 $X$ 的一个子集族 $(A_i{)}_{i\in I}$ ，其并集 ${\cup }_{i\in I}{A}_i$ 为 $\underset{i\in I}{\cup }{A}_i=\{x\in X;\exists i\in I,x\in A_i\}$ ，而交集则是 $\underset{i\in I}{\cap }{A}_i=\{x\in X;\forall i\in I,x\in A_i\}$ 啊这个还蛮好理解的，并集嘛，就是都行，只有有一个指标i能让x在一个子集内就行。交集就是不管哪个i，x都必须能找到一个子集Ai

常用等式：

$$A\cup (\underset{i\in I}{\cap }{A}_i)=\underset{i\in I}{\cap }(A\cup A_i)$$

$$A\cap (\underset{i\in I}{\cup }{A}_i)=\underset{i\in I}{\cup }(A\cap A_i)$$

(⊙﹏⊙)有结合律那味了

$$A-\underset{i\in I}{\cup }{A}_i=\underset{i\in I}{\cap }(X-A_i)$$

$$X-\underset{i\in I}{\cap }{A}_i=\underset{i\in I}{\cup }(X-A_i)$$

这两个其实就是de Morgan定律，emmmm似乎数电的时候学过啊😂，当时老师说啥摩根律反演律啥的。

选择公理

公理内容：设 $(A_i{)}_{i\in I}$ 为某集合的一族子集，如果 $I\ne \varnothing$ ,且对任何 $i\in I,A_i\ne \varnothing$ ，则 ${\Pi }_{i\in I}{A}_i\ne \varnothing$ 。

如果每个子集都相同也可以直接写成指数形式。

我的大概理解就是一个非空指标集合规定的子集族（也全都非空），那么这对非空的集合乘起来还说非空的。

${\Pi }_{i\in I}{A}_i$ 的元素作为一个选择函数f也记作 $x=(x_i{)}_{i\in I}$ , 其中 $x_i:=f(i)$ ，因而每个 $i\in I$ 被视为一个足标。对每个 $i\in I$ ,称 $x_i\in A_i$ 为 x 的第 i 个坐标。

所以为啥叫选择公理呢？也没啥选择的事情啊，难道是这意思就是由i选出来了x？

好像比较简单人话的解释就是在一个由集合组成的集合 $(A_i{)}_{i\in I}$ 中，我们可以从每一个集合 $A_i$ 选择一个元素 $i$ 和这个集合配成有序对来组成一个新的集合。 嗯，好像没啥问题，之前集合的内容也提到过集合的乘积会得到有序对的集合。

Zorn引理

半序集和全序集

半序集 如果X是一个集合， $\mathcal{R}$ 是X上的一个关系，如果 $(x,y)\in \mathcal{R}$ 时记作 $x⪯y$ ，满足

自反性:对所有的 $x\in X$ 有 $x⪯x$反称性:当 $x⪯y$ 且 $y⪯x$ 时 $x=y$传递性:当 $x⪯y$ 且 $y⪯z$ 时 $x⪯z$

则称X是半序集， $\mathcal{R}$ 是 X上的一个半序关系。

全序集 若A是半序集上的一个子集，如果任何两个元素 $a\in A,b\in A$ 均是可比较的( $a⪯borb⪯a$ )，就称A是全序的。 如果全序集A是有限集，即 $A={\cup }_{i=1}^m\{a_i\}$ ，则存在 $1\le i_0\le m$ 使得 $a_i⪯a_{i0}$ 对一切 $1\le i\le m$ 成立。 如 $\mathcal{P}(X)$ 的有限子集 $\{A_1,A_2,...,A_m\}$ 对于以包含关系为序关系而言是全序的。

我粗陋的理解一下，全序集就是半序集的加强版，要求任何两个元素都是可比较的。 这个可比较中的“比较”可以是我们定义的任意一种关系，比如包含， $A_1 \subset A_2 \subset A_3… $ 这样类似的。 有点像比如一个有序数列类似的？

提出一个问题： 如果一个集合有一个子集是全序集，那这个集合是不是一定是半续集？

Zorn 引理

Zorn Lemma: 设X是非空半序集，它的每个全序子集在X中均有上界，则X至少有一个极大元

emmm这个还蛮好理解的应该说。毕竟都是有界的嘛，肯定就得有个极大的。

极大元： 指偏序集中没有比它更大的可比较的元素。极小元： 指偏序集中没有与它可比较的更小的元素。最大元： 指偏序集的子集中不小于一切的元素。最小元： 指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素。

那么问题来了，极大元和最大元的区别是什么呢？定义很类似啊。

最大元一定是极大元，但是极大元不一定是最大元，因为最大元是和其他所有元素都可比的，但是极大元并不要求和所有元素都可比，只要求比可比元素大。极小元最小元同理嘛嘿嘿。