设 S S S是一个非空集，在 S S S上存在一个二元运算记为“ · ”（乘法）,即对任意 x , y ∈ S x,y\in S x,y∈S，总存在唯一的元 x ⋅ y ∈ S x · y\in S x⋅y∈S与之对应，又该乘法适合结合律，则称S是一个半群
一个半群的乘法如果适合交换律，则称这个半群为交换半群。
如果在一个半群 S S S中存在一个元素 e e e，使对一切 a ∈ S a\in S a∈S，均有 e a = a e = a ea=ae=a ea=ae=a 则称 e e e是 S S S的幺元（或恒等元，单位元），这样的半群成为幺半群
一个幺半群 G G G(幺元为 e e e)如果似乎和下列条件则称为群：对 G G G中任意元 a a a，均存在 a ′ a' a′，使 a ′ a = a a ′ = e a'a=aa'=e a′a=aa′=e 元素 a ′ a' a′ 称为 a a a 的逆元，记为 a − 1 a^{-1} a−1
群 G G G 的运算若适合交换律，则称之为交换群
