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多元正态分布的四种定义一、标准定义二、特征函数三、充要性质四、标准正态分布性质

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多元正态分布的四种定义

除标准定义外，还可以用特征函数、充要性质和标准正态分布性质来定义。

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一、标准定义

若 $p$ 维随机向量 $X={\left(X_1,X_2,\dots ,X_p\right)}^{\prime }$ 的概率密度函数为$$f(x_1,x_2,...,x_p)=\frac{1}{(2\pi {)}^{p/2}{|\Sigma |}^{1/2}}exp\left[-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^{\prime }{\Sigma }^{-1}(x-\mu )\right]$$其中 $x=(x_1,x_2,...,x_p{)}^{\prime }$，$\mu$ 是 $p$ 维向量，$\Sigma$ 是 $p$ 阶正定矩阵，则称 $X$ 服从 $p$ 元正态分布，也称 $X$ 为 $p$ 维正态随机向量，简记为 $X\sim N_p(\mu ,\Sigma )$。

显然，当 $p=1$ 时，即为一维正态分布密度函数。

可以证明，$\mu$ 为 $X$ 的均值（向量），$\Sigma$ 为 $X$ 的协差阵。

二、特征函数

若 $p$ 维随机向量 $X$ 的特征函数为$$\varphi (t)=exp\left[i{t}^T\mu -\frac{t^T\Sigma t}{2}\right],\Sigma \ge 0$$则称 $X$ 服从 $p$ 维正态分布，记为 $X\sim N_p(\mu ,\Sigma )$。

三、充要性质

若 $p$ 维随机向量 $X$ 的 $p$ 个分量的任意线性组合服从一元正态分布，即 $\forall \alpha \in R^p$，有 ${\alpha }^{T}X$ 为一元正态随机变量，则称 $X$ 为 $p$ 维正态随机向量。

四、标准正态分布性质

记 $X=(X_1,X_2,\dots ,X_q{)}^{\prime }$ ，$X_1,...X_q$ 独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$，$X_1,...X_q$ 的线性组合为 $$Y=\left[\begin{array}{c}{Y}_1\\ ⋮\\ Y_p\end{array}\right]=A_{p\times q}\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ ⋮\\ X_p\end{array}\right]+{\mu }_{p\times 1}$$ $\mu$ 为 $p$ 维常数矩阵，$A$ 为 $p\times q$ 常数矩阵，称 $Y$ 为 $p$ 维正态随机向量，记为 $Y\sim N_p(\mu ,\Sigma )$

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