傅里叶展开： c k = 1 T ∫ T f ( t ) e − j k ω 0 t d t c_k=\frac{1}{T}\int_Tf(t)e^{-jk\omega_0 t}\,\mathrm dt ck=T1∫Tf(t)e−jkω0tdt 复指数性质： e j k ω 0 = e − j k ω 0 = ( − 1 ) k e^{jk\omega_0} = e^{-jk\omega_0}=(-1)^k ejkω0=e−jkω0=(−1)k 方波脉冲的傅里叶系数（脉冲宽度为 τ \tau τ，脉冲周期为 T T T）： c k = E τ T S a ( n π τ T ) c_k=\frac{E\tau}{T}\mathrm{Sa}(\frac{n\pi\tau}{T}) ck=TEτSa(Tnπτ) 这个式子还可以利用频率表示： c k = E τ ω 0 2 π S a ( n ω 0 τ 2 ) c_k=\frac{E\tau\omega_0}{2\pi}\mathrm{Sa}(\frac{n\omega_0\tau}{2}) ck=2πEτω0Sa(2nω0τ)
借助方波Fourier变换及其对称性进行求解。傅里叶级数是傅里叶变换除以T
时移性质 x ( t − t 0 ) → F S a k e − j k ω 0 t 0 x(t-t_0)\xrightarrow{FS}a_ke^{-jk\omega_0t_0} x(t−t0)FS ake−jkω0t0
共轭对称 a k = a − k ∗ a_k = a_{-k}^* ak=a−k∗
这个共轭的内容很丰富，包括实部、虚部、模值、相角的四个附加特性
卷积：时域相乘等于频域相卷，频域相卷等于频域相乘
微积分：微分乘以 j k ω 0 jk\omega_0 jkω0，积分对于 k ≠ 0 k\not=0 k=0除以 j k ω 0 jk\omega_0 jkω0
傅里叶变换对： F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e j ω t d ω F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,\mathrm dt\\f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\omega t}\,\mathrm d\omega F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdtf(t)=2π1∫−∞∞F(ω)ejωtdω
方波脉冲的傅里叶变换( α \alpha α为高度， τ \tau τ为脉冲持续时间)： X ( j ω ) = α τ S a ( ω τ 2 ) X(j\omega)=\alpha\tau\mathrm{Sa}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) X(jω)=ατSa(2ωτ)
周期信号的傅里叶变换：（直接对傅里叶级数做傅氏变换） ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t ⟷ 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ a k δ ( ω − k ω 0 ) \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}\longleftrightarrow2\pi\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\delta(\omega-k\omega_0) k=−∞∑+∞akejkω0t⟷2πk=−∞∑+∞akδ(ω−kω0) 特别地，对采样信号，其傅里叶系数为 a k = 1 T ∫ T δ ( t ) e − j k ω 0 t d t = 1 T a_k=\frac{1}{T}\int_T\delta(t)e^{-jk\omega_0t}\,\mathrm dt=\frac{1}{T} ak=T1∫Tδ(t)e−jkω0tdt=T1，有： ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( t − n T ) = 2 π T ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( ω − 2 π k T ) \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)=\frac{2\pi}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T}) n=−∞∑+∞δ(t−nT)=T2πk=−∞∑+∞δ(ω−T2πk)
傅里叶变换对称性： F ( t ) ⟷ 2 π f ( − ω ) F(t)\longleftrightarrow2\pi f(-\omega) F(t)⟷2πf(−ω)
