用极限定义证明微积分基本定理

​ 基本定理：若$f(x)$在 $[a,b]$内连续，在$[a,b]$可积分，那么在$[a,b]$上有: $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$ ​ 其中，$f^{{}^{\prime }}(x)=F(x)$。

​ 证明：在这里，我们设: $$\varphi (x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$ 由上面的式子可以知道(定积分的性质)： $${\int }_a^{b}f(x)dx=\varphi (b)-\varphi (a)$$ 现在我们想办法证明${\varphi }^{{}^{\prime }}(x)=f(x)$即可证明微积分基本定理。

​ 由$f(x)$在$[a,b]$上一致连续有：$\forall ϵ>0$,$\exists \delta$，使得$x\in U(x_0,\delta )$时都有$|f(x)-f(x_0)|<ϵ$成立。其中$x_0\in [a,b]$。因此当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时有: $$-ϵ+f(x_0)<f(x)<ϵ+f(x_0)$$ 同时，我们对上面的式子同时积分: $${\int }_{x_0}^x(-ϵ+f(x_0))dx<{\int }_{x_0}^{x}f(x)dx<{\int }_{x_0}^x(ϵ+f(x_0))dx$$ 变形可以得到: $$(-ϵ+f(x_0))(x-x_0)<{\int }_{x_0}^{x}f(x)dx<(ϵ+f(x_0))(x-x_0)$$ 由我们一开始的定义我们可以知道: $${\int }_{x_0}^{x}f(x)dx=\varphi (x)-\varphi (x_0)$$ 代入上式可知: $$(-ϵ+f(x_0))(x-x_0)<\varphi (x)-\varphi (x_0)<(ϵ+f(x_0))(x-x_0)$$ 变形可以得到: $$|\frac{\varphi (x)-\varphi (x_0)}{x-x_0}-f(x_0)|<ϵ$$ 由维尔斯特拉斯极限定义:

$\forall ϵ>0$,$\exists {\delta }_1=\delta$,即可使得当$x\in U(x_0,{\delta }_1)$时，有$|\frac{\varphi (x)-\varphi (x_0)}{x-x_0}-f(x_0)|<ϵ$成立。这说明: $$li{m}_{x\to x_0}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_0)}{x-x_0}={\varphi }^{{}^{\prime }}(x_0)=f(x_0)$$ 而$f(x)$在$[a,b]$上一致连续且可积。因此$\forall x\in [a,b]$，有: $${\varphi }^{{}^{\prime }}(x)=f(x)$$ 证毕。

总结：我觉得微积分基本定理只有当完全依靠函数极限的定义证明时候，才是最简洁也是最直接的明。说白了，我觉得是极限的定义本身已经不仅仅是一种定义，而是我们描述和求解分析学最一般的数学定律的基本武器。