应用场景-修路问题
看一个应用场景和问题： (1)
有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?思路分析: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小. 正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.
进而引出一个概念
最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树N个顶点，一定有N-1条边包含全部顶点N-1条边都在图中举例说明(如图:)求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法普里姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图普利姆的算法如下: 2.1 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合 2.2 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1 2.3 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1 2.4 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边 2.5 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.普里姆算法的图解分析:
从A顶点开始处理 ==> A-C权值为7,A-G权值为2,A-B权值为5.
所以<A,G>开始,将A和B顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 A-C为7 ,A-B为5, G-B为3, G-E为4, G-F为6
从A-G-B开始寻找权值最小的边,和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理.同上,选出了G-E.
…
…
最后得到集合为A,G,B,E,F,D,C 满足了最小生成树. 总公里数 2+3+4+5+4+7
代码实现:
package com.qiu.prim; import org.omg.CORBA.INTERNAL; import java.util.Arrays; public class PrimAlgorithm { public static void main(String[] args) { //测试图是否创建成功 char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'}; int verxs = data.length; //邻接矩阵使用二维数组进行表示 int [][]weight=new int[][]{ //用10000表示两个较大的数来表示两个点不连通 {10000,5,7,10000,10000,10000,2}, {5,10000,10000,9,10000,10000,3}, {7,10000,10000,10000,8,10000,10000}, {10000,9,10000,10000,10000,4,10000}, {10000,10000,8,10000,10000,5,4}, {10000,10000,10000,4,5,10000,6}, {2,3,10000,10000,4,6,10000},}; MGraph mGraph = new MGraph(verxs); //创建一个MinTree对象 MinTree minTree = new MinTree(); minTree.createGraph(mGraph,verxs,data,weight); //输出 minTree.showGraph(mGraph); //测试prim算法 minTree.prim(mGraph,0); } } //创建最小生成树 -> 村庄的图 class MinTree{ /** * //创建图的邻接矩阵 * @param graph 图对象 * @param verxs 图对应的顶点个数 * @param data 图各个顶点的值 * @param weight 图的邻接矩阵 */ public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight){ int i,j; for (i = 0; i < verxs; i++) { //顶点 graph.data[i] = data[i]; for (j = 0; j < verxs; j++) { graph.weight[i][j] = weight[i][j]; } } } //显示图的邻接矩阵 public void showGraph(MGraph graph){ for (int[] link : graph.weight){ System.out.println(Arrays.toString(link)); } } /** * //编写一个prim算法,得到最小生成树 * @param graph 图 * @param v 从图的第几个顶点开始生成 */ public void prim(MGraph graph,int v){ //表示顶点是否被访问过 int[] visited = new int[graph.verxs]; //visited 默认元素的值都是0 for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { visited[i] = 0; } //把当前的这个节点标记为已经访问 visited[v] = 1; //h1,h2记录两个顶点的下标 int h1 = -1; int h2 = -1; //将minWeight 初始化成一个大树,后面遍历过程中会被替换 int minWeight = 10000; //因为有graph.vertex顶点,prim算法结束后就会有grath.verxs-1条边 for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { //确定每一次生成的子图,和哪个和这次遍历的节点的距离最近,i结点表示被访问过的结点 for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // j结点表示还没有访问过的结点 for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight){ //替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边) minWeight = graph.weight[i][j]; //记下结点 h1 = i; h2 = j; } } } //找到了一条边是最小的 System.out.println("边<" +graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+"> 权值:"+minWeight); //将当前找到的节点标记为已经访问 visited[h2] = 1; //midWeight重新设置成10000 minWeight = 10000; } } } class MGraph{ //表示图的节点个数 int verxs; //存放结点数据 char[] data; //存放边,就是我们的邻接矩阵 int[][] weight; public MGraph(int verxs){ this.verxs = verxs; data = new char[verxs]; weight = new int[verxs][verxs]; } }代码演示:
