三角形最小路径和（自上而下动态规划+空间优化）

题目

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形： [ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ] 自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明： 如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

注意点

1、自上而下动态规划简单实现

获取动态规划表达式：dp[i][j] 表示自上而下达到结点（i，j）的最小路径和；定义动态规划方程： 1、当i > 0，j = 0时，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + triangle.get(i).get(0)； 2、当i > 0，0 < j < i - 1时，dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j); 3、当i > 0，j = i - 1时，dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i)。

2、自上而下动态规划+空间优化实现

由1我们可以知道，dp[i][j]只与上一层的左上角（dp[i - 1][j - 1]）和上方（dp[i - 1][j]）的元素有关，所以行 i 不一定需要记录，我们可以通过定义为dp[j]，然后采用重复利用的方式来达到空间优化；因为是自上而下遍历，所以每一层需要逆方向进行操作，不然会覆盖掉上一层的值。（例如：更新dp[0]后，然后更新dp[1]时，会发现需要判断的dp[0]已经修改过，则无法正确操作）

实现

1、自上而下动态规划简单实现

public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) { // 最小路径和 int minisum = 0; if (null == triangle) { return minisum; } // 三角形总行数 int n = triangle.size(); // 动态规划方程 int[][] dp = new int[n][n]; // 初始化动态规划方程 dp[0][0] = triangle.get(0).get(0); // 动态规划(此处i = 1表示三角形的第二行) for (int i = 1; i < n; i ++) { // 处理每一行第一个元素的情况 dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle.get(i).get(0); // 处理每一行中间的情况 for (int j = 1; j < i; j ++) { dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j); } // 处理每一行最后一个元素的情况 dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i); } // 遍历获取最小路径和 minisum = dp[n - 1][0]; for (int i = 1; i < n; i ++) { minisum = Math.min(minisum, dp[n - 1][i]); } return minisum; }

2、自上而下动态规划+空间优化实现

public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) { // 最短路径和 int minisum = 0; if (null == triangle) { return minisum; } // 三角形的总行数 int n = triangle.size(); // 动态规划方程 int[] dp = new int[n]; // 初始化动态规划方程 dp[0] = triangle.get(0).get(0); // 动态规划(此处i = 1表示三角形的第二行) for (int i = 1; i < n; i ++) { // 处理每一行最后一个元素的情况 dp[i] = dp[i - 1] + triangle.get(i).get(i); // 处理每一行中间元素的情况 for (int j = i - 1; j > 0; j --) { dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + triangle.get(i).get(j); } // 处理每一行第一个元素的情况 dp[0] = dp[0] + triangle.get(i).get(0); } // 遍历获取最小路径和 minisum = dp[0]; for (int i = 1; i < n; i ++) { minisum = Math.min(minisum, dp[i]); } return minisum; }