2. it技术
  3. CINTA04

CINTA04

it2023-11-09  74

1 命题6.8证明

充分性证明

因为H是G的子群，得 H ≠ H \neq H​= ∅,对任意 a , b ∈ H a,b \in \mathbb{H} a,b∈H,因为H是群，满足群的性质， b − 1 ∈ H b^{-1} \in \mathbb{H} b−1∈H，由群的封闭性 a b − 1 ∈ H ab^{-1} \in \mathbb{H} ab−1∈H,充分性得证。

必要性证明

因为 H ≠ H \neq H​= ∅,并对 a , b ∈ H a,b \in \mathbb{H} a,b∈H,有 a b − 1 ∈ H ab^{-1} \in \mathbb{H} ab−1∈H

任取 a ∈ H a \in \mathbb{H} a∈H,由条件得 e = a a − 1 ∈ H e=aa^{-1} \in \mathbb{H} e=aa−1∈H，故单位元存在。对任意 b ∈ H b \in \mathbb{H} b∈H,由条件得 b − 1 = e b − 1 ∈ H b^{-1}=eb^{-1} \in \mathbb{H} b−1=eb−1∈H。逆元存在。

因此，对任意 a , b ∈ H a,b \in \mathbb{H} a,b∈H，有 b − 1 ∈ H b^{-1} \in \mathbb{H} b−1∈H,进而有 a b = a ( b − 1 ) − 1 ∈ H ab=a(b^{-1})^{-1} \in \mathbb{H} ab=a(b−1)−1∈H,满足封闭性。H满足群公理(结合律满足），必要性得证明。

2 G^M证明

因为 g ∈ G g \in \mathbb{G} g∈G,所以 g 2 ∈ G g^{2} \in \mathbb{G} g2∈G,类推得 g m ∈ G g^{m} \in \mathbb{G} gm∈G,所以 G M 是 G 的 子 集 \mathbb{G^{M}}是 \mathbb{G}的子集 GM是G的子集对任意 a = g k 1 ∈ G M a=g^{k1} \in \mathbb{G^M} a=gk1∈GM,k1是任意整数， b = g k 2 ∈ G M b=g^{k2} \in \mathbb{G^M} b=gk2∈GM,k2是任意整数，有， a b = g k 1 + k 2 ∈ G M ab=g^{k1+k2} \in \mathbb{G^M} ab=gk1+k2∈GM,在群G的操作上满足封闭性。易证 单位元e存在，与G同因为 g ∈ G g \in \mathbb{G} g∈G，所以一定存在 g − 1 ∈ G g^{-1} \in \mathbb{G} g−1∈G,对任意 g m ∈ G M g^{m} \in \mathbb{G^M} gm∈GM,存在 g − m ∈ G M g^{-m} \in \mathbb{G^M} g−m∈GM， g m g − m = e g^{m}g^{-m}=e gmg−m=e,逆元存在所以， G M \mathbb{G^M} GM在群 G \mathbb{G} G的操作符上满足群公理，得 G M G^{M} GM是 G \mathbb{G} G的一个子群。

3 证明

因为群 G \mathbb{G} G没有非平凡子群，所以群 G \mathbb{G} G只有平凡子群。设a是G中的非单位元,则H=(a)是G的子群且H≠{e},所以G=H=(a) ,H为循环群，所以G是循环群。

4 证明

设群G是以g为生成元生成的循环群，阶为n，群中任意元素 h = g k h=g^k h=gk,k为任意整数，又命题7.5，得h的阶为n/d，且 d = g c d ( k , n ) d=gcd(k,n) d=gcd(k,n),证明得群G中任意元素的阶都整除群G的阶。

5 证明

（8） Z p ∗ Z^{*}_{p} Zp∗​的最小生成元

import math def is_prime(n): Sqrtn=int(math.sqrt(n))+1 if n<=1: return False for i in range (2,Sqrtn): if n%i == 0: return False return True def prime_fators_list(p): list= [] for i in range(2,p): if(p%i == 0 and is_prime(i)): list.append(i) return list def is_primitive_root(a,p): flist =prime_fators_list(p-1) for f in flist: if pow(a, int((p-1)/f), p) == 1: return False return True def the_smallest_root(p): for i in range (2, p): if is_primitive_root(i, p): return i return -1 def the_msmallset_root(p): Mroot= -1 for i in range(2, p): if not is_prime(i): continue elif the_smallest_root(i) > Mroot: Mroot = the_smallest_root(i) return Mroot k = the_smallest_root(11) print(k) g=the_msmallset_root(10000) print(g)

丑陋的代码… 得最大的最小生成元是31

(9)

(a) 群g的阶为 ϕ ( p ) \phi({p}) ϕ(p)/2=(p-1)/2=q。原因** Z p ∗ Z^*_{p} Zp∗​的元素为{1,2,3，…p-1},因为 g = h 2 g=h^2 g=h2，又 i 2 i^2 i2 mod p = ( p − i ) 2 (p-i)^2 (p−i)2 mod p，所以群g的阶为 Z p ∗ Z^*_{p} Zp∗​阶的二分之一。

(b) 群g中的生成元的个数为 ϕ ( q ) \phi(q) ϕ(q)

©

def construct_group(h,p): group = [] g=h**2%p group.append(g) while g!=1: g=(g*(h**2))%p group.append(g) return group n2 = int(input()) for i in range(2, n2-1): group = construct_group(i, n2) print(group)
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