任何一个给定环 R \bm{R} R上的测度 μ \mu μ必可延拓到某个 σ \sigma σ- 环 R ∗ ⊂ S ( R ) \bm{R}^{*}\subset\bm{S(R)} R∗⊂S(R)上，成为 R ∗ \bm{R}^{*} R∗上的测度。 外测度 设 X X X是基本空间， R \bm{R} R是 X X X的环，下面先引进一个包含 R \bm{R} R上的 σ \sigma σ- 环： H ( R ) \bm{H(R)} H(R)表示能用 R \bm{R} R中的一列元素（即 X X X中某些子集的序列）加以覆盖的子集全体所称的类，即 H ( R ) = { E ∣ E ⊂ X , \bm{H(R)}=\{E\mid E\subset X, H(R)={E∣E⊂X,存在 E i ∈ R ( i = 1 , 2 , . . . ) 使 E ⊂ ⋃ i = 1 n E i } E_{i}\in\bm{R} (i=1,2,...)使E\subset \bigcup_{i=1}^{n}E_{i}\} Ei∈R(i=1,2,...)使E⊂⋃i=1nEi} 引理 1 对任何环 R \bm{R} R,必定 R ⊂ H ( R ) \bm{R}\subset \bm{H(R)} R⊂H(R)；当 E ∈ H ( R ) E\in \bm{H(R)} E∈H(R)时， E E E的任何子集F必定也属于 H ( R ) \bm{H(R)} H(R); H ( R ) \bm{H(R)} H(R)必定是 σ \sigma σ- 环。（提示：只需要证明 H ( R ) \bm{H(R)} H(R)对可列和的封闭性。） 引理 2 由环 R \bm{R} R上的测度 μ \mu μ所引出的外测度 μ ∗ \mu^{*} μ∗有下列性质： （i） μ ∗ ( ∅ ) = 0 \mu^{*}(\empty)=0 μ∗(∅)=0; （ii）（非负性）对任何 E ∈ H ( R ) ， μ ∗ ⩾ 0 E\in \bm{H(R)}，\mu^{*}\geqslant0 E∈H(R)，μ∗⩾0; （iii）（单调性）如果 E 1 、 E 2 ∈ H ( R ) E_{1}、E_{2}\in \bm{H(R)} E1、E2∈H(R)，且 E 1 ⊂ E 2 E_{1}\subset E_{2} E1⊂E2，那么 μ ∗ ( E 1 ) ⩽ μ ∗ ( E 2 ) \mu^{*}(E_{1})\leqslant\mu^{*}(E_{2}) μ∗(E1)⩽μ∗(E2)； （iv）对于 E ∈ R E\in \bm{R} E∈R， μ ∗ ( E ) = μ ( E ) \mu^{*}(E)=\mu(E) μ∗(E)=μ(E) 定理 1 设 μ ∗ \mu^{*} μ∗是由环 R \bm{R} R上测度 μ \mu μ所引出的外测度，那么对于任何一列 E i ∈ H ( R ) . E_{i}\in\bm{H(R)}. Ei∈H(R). 成立不等式 μ ∗ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) ⩽ ∑ i = 1 ∞ μ ∗ ( E i ) \mu^{*}(\bigcup^{\infty}_{i=1}E_{i})\leqslant \sum^{\infty}_{i=1}\mu^{*}(E_{i}) μ∗(i=1⋃∞Ei)⩽i=1∑∞μ∗(Ei) 定理 2 设 μ ∗ \mu^{*} μ∗是由环 R \bm{R} R上测度在 H ( R ) \bm{H(R)} H(R)上引出的外测度，如果 E ∈ R E\in \bm{R} E∈R，那么对任何 F ∈ H ( R ) F\in \bm{H(R)} F∈H(R)， μ ∗ ( F ) = μ ∗ ( F ∩ E ) + μ ∗ ( F − E ) \mu^{*}(F)=\mu^{*}(F\cap E)+\mu^{*}(F-E) μ∗(F)=μ∗(F∩E)+μ∗(F−E) 引理 1 R ∗ \bm{R}^{*} R∗是的 H ( R ) \bm{H(R)} H(R)子环，如果 R ∗ ⊃ R \bm{R}^{*}\supset\bm{R} R∗⊃R，那么 H ( R ) ∗ = H ( R ) \bm{H(R)^{*}}=\bm{H(R)} H(R)∗=H(R)，并且 μ ∗ = μ ∗ ∗ \mu^{*}=\mu^{**} μ∗=μ∗∗。 定义 设 μ \mu μ是环 R \bm{R} R上的测度， μ ∗ \mu^{*} μ∗是由测度 μ \mu μ所引出的外测度， E ∈ H ( R ) E\in \bm{H(R)} E∈H(R)都成立 μ ∗ ( F ) = μ ∗ ( F ∩ E ) + μ ∗ ( F − E ) \mu^{*}(F)=\mu^{*}(F\cap E)+\mu^{*}(F-E) μ∗(F)=μ∗(F∩E)+μ∗(F−E)，就称 E E E是 μ ∗ \mu^{*} μ∗-可测集，全体 μ ∗ \mu^{*} μ∗-可测集记为 R ∗ \bm{R}^{*} R∗。等式称为集 E E E的Caratheodory条件。 引理 4 μ ∗ \mu^{*} μ∗-可测集全体 R ∗ \bm{R}^{*} R∗是一个环。 定理 3 μ ∗ \mu^{*} μ∗-可测集全体 R ∗ \bm{R}^{*} R∗是 σ \sigma σ- 环，并且 μ ∗ \mu^{*} μ∗是 R ∗ \bm{R}^{*} R∗上的测度。 引理 5 如果 E ∈ H ( R ) E\in \bm{H(R)} E∈H(R)而且 μ ∗ ( E ) = 0 \mu^{*}(E)=0 μ∗(E)=0，那么 E ∈ R ∗ E\in \bm{R}^{*} E∈R∗。 定义 是 μ \mu μ是环 R \bm{R} R上的测度， E ∈ R E\in \bm{R} E∈R，如果 μ ( E ) = 0 \mu(E)=0 μ(E)=0就称 E E E是 μ \mu μ-零集，简称做零集。 定义 是 μ \mu μ是环 R \bm{R} R上的测度，如果 R \bm{R} R中任何 μ \mu μ-零集的任何子集都必定属于 R \bm{R} R，那么称 μ \mu μ是一个完全测度。 定义 设 μ \mu μ是环 R \bm{R} R上的测度，我们称 σ \sigma σ-环 R ∗ \bm{R}^{*} R∗上的测度 μ ∗ \mu^{*} μ∗是 μ \mu μ的延拓（或扩张）。
我们把测度的扩张总结一下： 首先，我们从集 X X X的某些子集所成的一个环 R \bm{R} R，以及环 R \bm{R} R上的测度 μ \mu μ出发，根据环 H ( R ) \bm{H(R)} H(R)作集类，它是 σ \sigma σ- 环，然后由测度 μ \mu μ，在 H ( R ) \bm{H(R)} H(R)上作出由 μ \mu μ引出的外测度 μ ∗ \mu^{*} μ∗， μ ∗ \mu^{*} μ∗是 μ \mu μ的“延拓”，即对于 E ∈ R , μ ∗ ( E ) = μ ( E ) E\in \bm{R},\mu^{*}(E)=\mu(E) E∈R,μ∗(E)=μ(E)。外测度 μ ∗ \mu^{*} μ∗具有测度的一部分性质，但是不一定有可加性，一般说， μ ∗ \mu^{*} μ∗只具有次可加性。但是在 H ( R ) \bm{H(R)} H(R)中利用Caratheodary条件分出了一类集，即 μ ∗ \mu^{*} μ∗-可测集， μ ∗ \mu^{*} μ∗-可测集全体 R ∗ \bm{R}^{*} R∗是一个 σ \sigma σ- 环，而且 R \bm{R} R中的元都是 μ ∗ \mu^{*} μ∗-可测集。如果把外测度 μ ∗ \mu^{*} μ∗限制在 R ∗ \bm{R}^{*} R∗上，那么可列可加性也是成立的，因此 μ ∗ \mu^{*} μ∗是 R ∗ \bm{R}^{*} R∗上的测度。而且 μ ∗ \mu^{*} μ∗是 R ∗ \bm{R}^{*} R∗上的完全测度。
夏道行《实变函数与泛函分析》
